若m＋n＝p＋q 則 an＋am＝ap＋aq
證明：已知｛An｝是等差數(shù)列,則設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d.
等式右邊：Am+An=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d;
同理可推出左邊：Ap+Aq=2a1+(p+q-2)d;
又m+n=p+q;a1,d均為常數(shù),故右邊=左邊,題設(shè)成立.
ps:這是等差數(shù)列的一個(gè)特性（當(dāng)然m,n,p,q都應(yīng)是大于等于1的自然數(shù)）,教科書(shū)上應(yīng)該有的.
相似的等比數(shù)列也有,不過(guò)結(jié)論變成：Am*An=Ap*Aq
Sm ,S2m －Sm ,S3m －S2m 成等差數(shù)列
Sm+n=Sm+q^mSn
令m=k ,k=1,2,3,4...bk=S(k+1)m-Skm,
則bk=（a1)(1-q^m)q^(km)/(1-q),同理可以得到b（k+1）和b（k+2）,易得(bk)b(k+2)=[b（k+1）]^2,即證明了數(shù)列{bk}是等比數(shù)列,也容易求出其公比是q^m,也就證明了S2m-Sm,S3m-S2m…仍然成等比數(shù)列,且公比為q^m
再驗(yàn)證一下Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比,且公比為q^m完成證明了
Sm+n=a1*(q^(m+n)-1)/(q-1)
Sm=a1(q^m-1)/(q-1)
Sn=a1(q^n-1)/(q-1)
Sm+q^mSn=a1(q^m-1)/(q-1)+a1q^m(q^n-1)/(q-1)
=a1/(q-1)*(q^m-1+q^m*q^n-q^m)
=a1/(q-1)*(q^(m+n)-1)
所以：Sm+n=Sm+(q^m)*Sn
設(shè)an=a+nd,d為公差
(1)
Sm=am+dm(m+1)/2=n
Sn=an+dn(n+1)/2=m
d=-(2m+2n)/mn
a=(m^2+n^2+mn+m+n)/mn
所以Sm+n
=(m+n)a+d(m+n)(m+n+1)/2
=-m-n
3）2 am ＝a1＋a2m－1 就這個(gè)不太懂,希望高人指點(diǎn)···
Sm=am+dm(m+1)/2對(duì)的