請證明 log2(3)>log3(4) 即以2為底3的對數(shù)大于以3為底4的對數(shù).
這是高考前復(fù)習(xí)的一個數(shù)學(xué)題,當(dāng)時做不出來,十年后用幾種辦法做出,當(dāng)時難倒了多少數(shù)學(xué)高手.
解法：log2(3) = lg3/lg2 = lg27/lg8 ；
log3(4) = lg4/lg3 = lg16/lg9 ；
因為,
log2(3)/log3(4) = (lg27/lg8)(lg9/lg16) = (lg27/lg16)(lg9/lg8) > 1 ,
所以,
log2(3) > log3(4) .
解法：
log(2)3=lg3/lg2
log(3)4=lg4/lg3
log(2)3-log(3)4=lg3/lg2-lg4/lg3=[(lg3)^2-lg2lg4]/(lg2lg3)
因為分母lg2lg3大于0.因此只要比較分子的正負(fù)就可以判斷二個數(shù)的大小
又根據(jù)基本不等式,簡單推導(dǎo)如下：
若a,b是正數(shù),則
[(a+b)/2]^2-ab=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=[(a-b)/2]^2≥0
所以[(a+b)/2]^2≥ab,也就是ab≤[(a+b)/2]^2
在本題中的應(yīng)用是
lg2lg4≤[(lg2+lg4)/2]^2
所以
(lg3)^2-lg2lg4
≥(lg3)^2-[(lg2+lg4)/2]^2
=(lg3)^2-(lg8/2)^2
=(lg3)^2-(lg√8)^2 >0
∴l(xiāng)og(2)3-log(3)4>0
∴l(xiāng)og(2)3>log(3)4
解法：log2(3)>log2(2√2)=3／2=log3(3^（3／2））=log3（√27）＞㏒3（√16）=㏒3（4）