三角學
trigonometry
[編輯本段]名稱定義
研究平面三角形和球面三角形邊角關(guān)系的數(shù)學學科.三角學是以研究三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ),應用于測量為目的,同時也研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用的一門學科.
[編輯本段]三角學的起源
三角學起源于古希臘.為了預報天體運行路線、計算日歷、航海等需要,古希臘人已研究球面三角形的邊角關(guān)系,掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊,球面三角形內(nèi)角之和大于兩個直角,等邊對等角等定理.印度人和阿拉伯人對三角學也有研究和推進,但主要是應用在天文學方面.15、16世紀三角學的研究轉(zhuǎn)入平面三角,以達到測量上應用的目的.16世紀法國數(shù)學家韋達系統(tǒng)地研究了平面三角.他出版了應用于三角形的數(shù)學定律的書.此后,平面三角從天文學中分離出來,成了一個獨立的分支.平面三角學的內(nèi)容主要有三角函數(shù)、解三角形和三角方程.
三角測量在中國也很早出現(xiàn),公元前一百多年的《周髀算經(jīng)》就有較詳細的說明,例如它的首章記錄“周公曰,大哉言數(shù),請問用矩之道.商高曰,平矩以正繩,偃矩以望高,復矩以測深,臥矩以知遠.”（商高說的矩就是今天工人用的兩邊互相垂直的曲尺,商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測目標物的高度、深度與廣度）1世紀時的《九章算術(shù)》中有專門研究測量問題的篇章．
[編輯本段]三角學的歷史
早期三角學不是一門獨立的學科,而是依附于天文學,是天文觀測結(jié)果推算的一種方法,因而最先發(fā)展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中都有三角學的內(nèi)容,可大都是天文觀測的副產(chǎn)品．例如,古希臘門納勞斯（Menelaus of Alexandria,公元100年左右）著《球面學》,提出了三角學的基礎(chǔ)問題和基本概念,特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年后,另一個古希臘學者托勒密（Ptolemy）著《天文學大成》,初步發(fā)展了三角學．而在公元499年,印度數(shù)學家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira,約505～587年）最早引入正弦概念,并給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然,所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾丁（Nasir ed－Din al Tusi,1201～1274年）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學,成為純粹數(shù)學的一個獨立分支．而在歐洲,最早將三角學從天文學獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（J Regiomontanus,1436～1476年）.
?雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》.這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作.全書共5卷,前2卷論述平面三角學,后3卷討論球面三角學,是歐洲傳播三角學的源泉.雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表.
?雷格蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后,其著作手稿在學者中廣為傳閱,并最終出版,對 16 世紀的數(shù)學家產(chǎn)生了相當大的影響,也對哥白尼等一批天文學家產(chǎn)生了直接或間接的影響．
?三角學一詞的英文是trigonometry,來自拉丁文tuigonometuia．最先使用該詞的是文藝復興時期的德國數(shù)學家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus,1561～1613年）,他在1595年出版的《三角學：解三角形的簡明處理》中創(chuàng)造這個詞．其構(gòu)成法是由三角形（tuiangulum）和測量（metuicus）兩字湊合而成．要測量計算離不開三角函數(shù)表和三角學公式,它們是作為三角學的主要內(nèi)容而發(fā)展的．
?16世紀三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學家雷蒂庫斯（G．J．Rhetucu s,1514～1574年）.他1536年畢業(yè)于滕貝格大學,留校講授算術(shù)和幾何.1539 年赴波蘭跟隨著名天文學家哥白尼學習天文學,1542年受聘為萊比錫大學數(shù)學教授．雷蒂庫斯首次編制出全部6種三角函數(shù)的數(shù)表,包括第一張詳盡的正切表和第一張印刷的正割表.
17世紀初對數(shù)發(fā)明后大大簡化了三角函數(shù)的計算,制作三角函數(shù)表已不再是很難的事,人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學的理論研究．不過三角函數(shù)表的應用卻一直占據(jù)重要地位,在科學研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可替代的作用．
?三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系,一些簡單的關(guān)系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中已有研究．
?文藝復興后期,法國數(shù)學家韋達（F Vieta）成為三角公式的集大成者．他的《應用于三角形的數(shù)學定律》（1579年）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學的專著之一．其中第一部分列出6種三角函數(shù)表,有些以分和度為間隔.給出精確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)值,還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等.第二部分給出造表的方法,解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運算公式．除匯總前人的成果外,還補充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中,使得任意給出某些已知量后,可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ).對斜三角形,韋達仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形,給出計算的完整公式及其記憶法則,如余弦定理,1591年韋達又得到多倍角關(guān)系式,1593 年又用三角方法推導出余弦定理.
1722年英國數(shù)學家棣莫弗（A De Meiver）得到以他的名字命名的三角學定理
?（cosθ±isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ,
?并證明了n是正有理數(shù)時公式成立；1748年歐拉（L Euler）證明了n是任意實數(shù)時公式也成立,他還給出另一個著名公式
?eiθ＝cosθ＋isinθ,
?對三角學的發(fā)展起到了重要的推動作用．
近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓,并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù),他還創(chuàng)用小寫拉丁字母a、b、c表示三角形三條邊,大寫拉丁字母A、B、C表示三角形三個角,從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形 解法進一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應用,成為一個比較完整的數(shù)學分支學科．而由于上述諸人及 19 世紀許多數(shù)學家的努力,形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號和三角學的完整的理論.
[編輯本段]三角學的特點與運用
早期三角學不是一門獨立的學科,而是依附于天文學,是天文觀測結(jié)果推算的一種方法,因而最先發(fā)展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中都有三角學的內(nèi)容,可大都是天文觀測的副產(chǎn)品．直到13世紀中亞數(shù)學家納速拉丁在總結(jié)前人成就的基礎(chǔ)上,著成《完全四邊形》一書,才把三角學從天文學中分離出來．15世紀,德國的雷格蒙塔努斯（J·Regiomontanus,1436—1476）的《論三角》一書的出版,才標志古代三角學正式成為獨立的學科．這本書中不僅有很精密的正弦表、余弦表等,而且給出了現(xiàn)代三角學的雛形．
16世紀法國數(shù)學家韋達（F·Viete,1540—1603）則更進一步將三角學系統(tǒng)化,在他對三角研究的第一本著作《應用于三角形的數(shù)學法則》中,就有解直角三角形、斜三角形等的詳述．18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（L·Euler,1707—1783）,他首先研究了三角函數(shù)．這使三角學從原先靜態(tài)研究三角形的解法中解脫出來,成為反映現(xiàn)實世界中某些運動和變化的一門具有現(xiàn)代數(shù)學特征的學科．歐拉不僅用直角坐標來定義三角函數(shù),徹底解決了三角函數(shù)在四個象限中的符號問題,同時引進直角坐標系,在代數(shù)與幾何之間架起了一座橋梁,通過數(shù)形結(jié)合,為數(shù)學的學習與研究提供了重要的思想方法．著名的歐拉公式,把原來人們認為互不相關(guān)的三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來了,為三角學增添了新的活力．
因此三角學是源于測量實踐,其后經(jīng)過了漫長時間的孕育,眾多中外數(shù)學家的不斷努力,才逐漸豐富,演變發(fā)展成為現(xiàn)在的三角學.
[編輯本段]三角函數(shù)的計算方法
三角學中的三角函數(shù)有6個,是用幾何方法定義的.在直角坐標系中,設(shè)以射線Ox為始邊,OP為終邊的角為θ,P點的坐標為(x,y),｜OP｜＝r,這時6個比由θ的大小確定,都是θ的函數(shù),稱它們?yōu)榻铅鹊娜呛瘮?shù),分別記作并分別稱為角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.tg,ctg,csc也分別記作tan,cot,cosec.
同角三角函數(shù)間有3組運算關(guān)系,即
三角函數(shù)都是周期函數(shù),以2π為周期.
三角函數(shù)的基本恒等式有和角公式：
sin(a＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
cos(a＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
由這兩個公式可以導出差角公式、倍角公式、半角公式、和差化積與積化和差等公式.
解三角形是已知三角形的某些元素（邊和角）時求其余未知元素.設(shè)三角形的三個角為A,B,C,它們所對的邊分別為a,b,c,則有
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一個三角形中是恒量,是此三角形外接圓的半徑的兩倍）
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA這兩個定理是解三角形的主要依據(jù).
三角方程一般指含有某些三角函數(shù)的方程,并且三角函數(shù)的自變量中含有未知數(shù).由于每個三角函數(shù)都是周期函數(shù),所以任何一個三角方程只要有解,就有無窮多個解.
三角測量
三角測量是指在導航,測量及土木工程中精確測量距離和角度的技術(shù),主要用于為船只或飛機定位.它的原理是：如果已知三角形的一邊及兩角,則其余的兩邊一角可用平面三角學的方法計算出來.在西方,古希臘著名的數(shù)學家畢達哥拉斯首次證明了有關(guān)直角三角形的“畢達哥拉斯定理”,即中國的“勾股定理”,對幾何學研究及其應用做出了巨大貢獻.