方法非常多,我知道的就不下10種,下面提供簡單的幾種
一是利用歸納法,這個具體過程略.
二是利用立方差公式：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
同理利用4次方公式可以得到立方和公式
三是利用物理學原理：
這個需要畫圖,比較麻煩.我就簡單說明一下大概意思：
畫一條射線,在坐標中頂點為原點,然后再橫坐標為1的位置放一個質(zhì)量為1的質(zhì)點,在橫坐標為2的位置放2個質(zhì)量為1的質(zhì)點,這樣繼續(xù)下去,構(gòu)成一個正三角形的質(zhì)點分布圖.然后這些質(zhì)點的對于原點的力矩之和就正好是平方和公式左邊；同時根據(jù)正三角形的質(zhì)心和動力臂可以計算所有質(zhì)點的等價力矩,這就得到等式右邊.