前兩問(wèn)用向量法解比較簡(jiǎn)便
1.建立坐標(biāo)系,以D為原點(diǎn),DA為X軸,DC為Y軸,DP為Z軸
則各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(√2,1,0),C(0,1,0)
由中點(diǎn)關(guān)系,易知M,N的坐標(biāo)
M(√2/2,0,√2/2),N(√2/2,1,0)
所以呢
向量MN=(0,1,-√2/2)=3*向量DC-(1/2)向量DP,其中DC,DP均為平面PCD上的向量
所以MN//平面PCD
2.向量MC=(-√2/2,1,-√2/2)
向量BD=(√2,1,0)
向量MC*向量BD=0
所以MC⊥BD
3.解出各自法向量再算也很簡(jiǎn)單,運(yùn)算量可能會(huì)大點(diǎn),這里我用幾何法了
過(guò)A作AE⊥BD于E
因?yàn)镻D⊥AE(PD⊥那個(gè)面了)
BD⊥AE
所以
AE⊥平面PBD
在矩形ABCD中計(jì)算AE=√6/3
過(guò)A作AF⊥PB于F,在RTΔPAB中計(jì)算AF=2√5/5
所以sinθ=AE/AF=√(5/6)
因此cosθ=√6/6