大數(shù)定律（laws of large number)
編輯本段【基本概念】
概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于貝努里,后人稱之為“大數(shù)定律”.概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一.又稱弱大數(shù)理論.
編輯本段【主要含義】
在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中,往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律,這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律.通俗地說,這個(gè)定理就是,在試驗(yàn)不變的條件下,重復(fù)試驗(yàn)多次,隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率.比如,我們向上拋一枚硬幣,硬幣落下后哪一面朝上本來是偶然的,但當(dāng)我們上拋硬幣的次數(shù)足夠多后,達(dá)到上萬(wàn)次甚至幾十萬(wàn)幾百萬(wàn)次以后,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),硬幣每一面向上的次數(shù)約占總次數(shù)的二分之一.偶然必然中包含著必然.
編輯本段【發(fā)展歷史】
1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步,證明了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布.拉普拉斯改進(jìn)了他的證明并把二項(xiàng)分布推廣為更一般的分布.1900年,李雅普諾夫進(jìn)一步推廣了他們的結(jié)論,并創(chuàng)立了特征函數(shù)法.這類分布極限問題是當(dāng)時(shí)概率論研究的中心問題,卜里耶為之命名“中心極限定理”.20世紀(jì)初,主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件,二三十年代的林德貝爾格條件和費(fèi)勒條件是獨(dú)立隨機(jī)變量序列情形下的顯著進(jìn)展.貝努里是第一個(gè)研究這一問題的數(shù)學(xué)家,他于1713年首先提出后人稱之為“大數(shù)定律”的極限定理.
編輯本段【舉例說明】
例如,在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中,觀測(cè)投擲n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù).不同的n次試驗(yàn),出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同,但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n越來越大時(shí),出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于1／2.又如稱量某一物體的重量,假如衡器不存在系統(tǒng)偏差,由于衡器的精度等各種因素的影響,對(duì)同一物體重復(fù)稱量多次,可能得到多個(gè)不同的重量數(shù)值,但它們的算術(shù)平均值一般來說將隨稱量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實(shí)重量.由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式,按其收斂為依概率收斂,以概率 1 收斂或均方收斂,分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律.常用的大數(shù)定律有：伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律和重對(duì)數(shù)定律.
設(shè)有一隨機(jī)變量序列,假如它具有形如（1）的性質(zhì),則稱該隨機(jī)變量服從大數(shù)定律.
伯努利大數(shù)定律設(shè)μn為n重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p為每次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率,則對(duì)任意的ε>0,有（2）成立.
馬爾可夫大數(shù)定律對(duì)隨機(jī)變量序列,若（3）成立,則服從大數(shù)定律,即對(duì)任意的ε>0,（1）式成立.
辛欽大數(shù)定律設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,若Xi的數(shù)學(xué)期望存在,則服從大數(shù)定律,即對(duì)任意的ε>0,（1）成立.