sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2)
利用三倍角公式以及反正法
證明：∵sin30°=3sin10°-4(sin10°)^3=1/2
設(shè)sin10°=x,則3x-4x^3=1/2,即：8x^3-6x+1=0
假設(shè)x為有理數(shù),即x=p/q(其中p、q為整數(shù)且互質(zhì))
則8(p/q)^3-6(p/q)+1=0,∴8p^3-6pq^2+q^3=0
∴q^3=2p(3q^2-4p^2)
∴p能整除q^3
而另一方面,(p,q)=1,則(p,q^3)=1,∴結(jié)合p|q^3可得：p=1
∴8-6q^2+q^3=0,∴8=q^2(6-q)
∴6-q>0,且q^2|8,∴q^2=1,或4,∴q=1或2,∴x=1或1/2
帶入方程8x^3-6x+1=0中發(fā)現(xiàn)均不成立,所以產(chǎn)生矛盾,故假設(shè)不成立!
即sin10°為無(wú)理數(shù)!
cos10°與tan10°可以使用同樣的方法去證明,而另一方面，(p, q)=1，則(p, q^3)=1，∴結(jié)合p|q^3可得：p=1 ∴6-q>0，且q^2|8，∴q^2=1, 或4，∴q=1或2，∴x=1或1/2不明白，詳細(xì)講講。謝謝你首先，由(p, q)=1到(p, q^3)=1的證明如下：設(shè)(p, q^3)=d>1，則d為質(zhì)數(shù)或合數(shù)。若d為合數(shù)，則d存在質(zhì)因子m，使得m|d，∴m|q^3∵m為質(zhì)數(shù)，∴m|q又因?yàn)閙|p，∴m|(p,q)，∴m|1，∴m=1，與m是質(zhì)數(shù)矛盾！當(dāng)d為質(zhì)數(shù)的時(shí)候，把上面的m換成d同理可推出矛盾！∴(p, q^3)=d>1是不成立的，∴d=1，即(p, q^3)=1其次，我們得到了(p, q^3)=1，p|q^3這兩個(gè)結(jié)論的時(shí)候：∵p|q^3，∴(p, q^3)=p，∴p=1最后，把p=1帶入原方程，得到：8=q^2(6-q)∵q^2為完全平方數(shù)，且能被8整除，∴q^2=1或4∴q=1或2最后帶入方程中進(jìn)行驗(yàn)證即可！