矩陣的行（列）初等變換不改變列（行）秩.
證明 只需證明行變換不改變列秩.列變換可用矩陣的轉(zhuǎn)置證得.
假設(shè)A的列向量為a1,a2,a3...an ,它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組為 ai1,ai2...air,而經(jīng)過(guò)初等行變換之后的列向量為a1',a2',a3...an' ,只需證明a1',a2',a3...air',是變換后列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組即可.
只需分別證明向量組 a1',a2',a3...air'（*）線性無(wú)關(guān)和a1',a2',a3...an' 中的任意一個(gè)向量都可以被（*）線性表出.構(gòu)造方程xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0 ,由于ai1,ai2...air 線性無(wú)關(guān),線性方程組ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0 只有零解.而方程xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0 是由 ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0經(jīng)過(guò)初等行變換得來(lái)的,而初等行變換是同解變換,所以xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0只有零解,于是ai1',ai2'...air' 線性無(wú)關(guān).對(duì)于A 的任意一個(gè)列向量β ,都可被ai1,ai2...air 線性表出,利用初等行變換是同解變換同樣可以證明經(jīng)過(guò)初等行變換后,β'可以被（*）線性表出.
證畢.