高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有 –1個(gè)；非空子集有 –1個(gè)；非空的真子集有 –2個(gè). 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式 ;(2)頂點(diǎn)式 ; (3)零點(diǎn)式 . 7.解連不等式 常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程 在 上有且只有一個(gè)實(shí)根,與 不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程 有且只有一個(gè)實(shí)根在 內(nèi),等價(jià)于 ,或 且 ,或 且 . 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最值只能在 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得,具體如下： (1)當(dāng)a0時(shí),若 ,則 ； , , . (2)當(dāng)a0時(shí),若 ,則 ,若 ,則 , . 10.一元二次方程的實(shí)根分布依據(jù)：若 ,則方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè) ,則（1）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 ；（2）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 或 或 ；（3）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間 的子區(qū)間 （形如 , , 不同）上含參數(shù)的二次不等式 ( 為參數(shù))恒成立的充要條件是 . (2)在給定區(qū)間 的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式 ( 為參數(shù))恒成立的充要條件是 . (3) 恒成立的充要條件是 或 . 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題 互逆 逆命題若p則q 若q則p 互 互 互 為 為 互 否 否 逆 逆 否 否否命題 逆否命題 若非p則非q 互逆 若非q則非p 15.充要條件 （1）充分條件：若 ,則 是 充分條件. （2）必要條件：若 ,則 是 必要條件. （3）充要條件：若 ,且 ,則 是 充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件；反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè) 那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果 ,則 為增函數(shù)；如果 ,則 為減函數(shù). 17.如果函數(shù) 和 都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù) 也是減函數(shù); 如果函數(shù) 和 在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù) 是增函數(shù). 18．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)． 19.若函數(shù) 是偶函數(shù),則 ；若函數(shù) 是偶函數(shù),則 . 20.對(duì)于函數(shù) ( ), 恒成立,則函數(shù) 的對(duì)稱(chēng)軸是函數(shù) ;兩個(gè)函數(shù) 與 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng). 21.若 ,則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng); 若 ,則函數(shù) 為周期為 的周期函數(shù). 22．多項(xiàng)式函數(shù) 的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù) 是奇函數(shù) 的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù) 是偶函數(shù) 的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù) 的圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng) . (2)函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng) . 24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 (即 軸)對(duì)稱(chēng). (2)函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng). (3)函數(shù) 和 的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng). 25.若將函數(shù) 的圖象右移 、上移 個(gè)單位,得到函數(shù) 的圖象；若將曲線 的圖象右移 、上移 個(gè)單位,得到曲線 的圖象. 26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù) 存在反函數(shù),則其反函數(shù)為 ,并不是 ,而函數(shù) 是 的反函數(shù). 28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù) , . (2)指數(shù)函數(shù) , . (3)對(duì)數(shù)函數(shù) , . (4)冪函數(shù) , . (5)余弦函數(shù) ,正弦函數(shù) , , . 29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a0) （1） ,則 的周期T=a；（2） ,或 ,或 , 或 ,則 的周期T=2a； (3) ,則 的周期T=3a； (4) 且 ,則 的周期T=4a； (5) ,則 的周期T=5a； (6) ,則 的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1) （ ,且 ）.(2) （ ,且 ）. 31．根式的性質(zhì)（1） .（2）當(dāng) 為奇數(shù)時(shí), ；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí), . 32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1 .(2) . (3) . 注： 若a＞0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù),則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 . 34.對(duì)數(shù)的換底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推論 ( ,且 , ,且 , , ). 35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0,a≠1,M＞0,N＞0,則 (1) ;(2) ; (3) . 36.設(shè)函數(shù) ,記 .若 的定義域?yàn)?,則 ,且 ;若 的值域?yàn)?,則 ,且 .對(duì)于 的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn). 37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若 , , , ,則函數(shù) (1)當(dāng) 時(shí),在 和 上 為增函數(shù). , (2)當(dāng) 時(shí),在 和 上 為減函數(shù). 推論:設(shè) , , ,且 ,則（1） . （2） . 38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為 ,則對(duì)于時(shí)間 的總產(chǎn)值 ,有 . 39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系 ( 數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ). 40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；其前n項(xiàng)和公式為 . 41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；其前n項(xiàng)的和公式為 或 . 42.等比差數(shù)列 : 的通項(xiàng)公式為 ；其前n項(xiàng)和公式為 . 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款 元(貸款 元, 次還清,每期利率為 ). 44．常見(jiàn)三角不等式（1）若 ,則 . (2) 若 ,則 .(3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 , = , . 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . = (輔助角 所在象限由點(diǎn) 的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . . . 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù) ,x∈R及函數(shù) ,x∈R(A,ω, 為常數(shù),且A≠0,ω＞0)的周期 ；函數(shù) , (A,ω, 為常數(shù),且A≠0,ω＞0)的周期 . 51.正弦定理 . 52.余弦定理 (1) ;(2) ; (2) . 53.面積定理（1） （ 分別表示a、b、c邊上的高）. （2） . (3) . 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中,有 . 55. 簡(jiǎn)單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么 (1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (1) a?b= b?a （交換律）; (2)（ a）?b= （a?b）= a?b= a?（ b）;(3)（a+b）?c= a ?c +b?c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a= ,b= ,且b 0,則a b(b 0) . 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a?b=|a||b|cosθ． 61. a?b的幾何意義數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)設(shè)a= ,b= ,則a+b= . (2)設(shè)a= ,b= ,則a-b= . (3)設(shè)A ,B ,則 . (4)設(shè)a= ,則 a= . (5)設(shè)a= ,b= ,則a?b= . 63.兩向量的夾角公式 (a= ,b= ). 64.平面兩點(diǎn)間的距離公式 = (A ,B ). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a= ,b= ,且b 0,則 A||b b=λa . a b(a 0) a?b=0 . 66.線段的定比分公式 設(shè) , , 是線段 的分點(diǎn), 是實(shí)數(shù),且 ,則 （ ）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 、 ,則△ABC的重心的坐標(biāo)是 . 68.點(diǎn)的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ,且 的坐標(biāo)為 . 69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn) 按向量a= 平移后得到點(diǎn) . (2) 函數(shù) 的圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的函數(shù)解析式為 . (3) 圖象 按向量a= 平移后得到圖象 ,若 的解析式 ,則 的函數(shù)解析式為 . (4)曲線 : 按向量a= 平移后得到圖象 ,則 的方程為 . (5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然為m= . 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè) 為 所在平面上一點(diǎn),角 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 ,則（1） 為 的外心 . （2） 為 的重心 . （3） 為 的垂心 . （4） 為 的內(nèi)心 . （5） 為 的 的旁心 . 71.常用不等式：（1） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（2） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（3） （4）柯西不等式 （5） . 72.極值定理已知 都是正數(shù),則有（1）若積 是定值 ,則當(dāng) 時(shí)和 有最小值 ；（2）若和 是定值 ,則當(dāng) 時(shí)積 有最大值 . 推廣 已知 ,則有 （1）若積 是定值,則當(dāng) 最大時(shí), 最大；當(dāng) 最小時(shí), 最小. （2）若和 是定值,則當(dāng) 最大時(shí), 最??；當(dāng) 最小時(shí), 最大. 73.一元二次不等式 ,如果 與 同號(hào),則其解集在兩根之外；如果 與 異號(hào),則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外,異號(hào)兩根之間. ； . 74.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a 0時(shí),有 . 或 . 75.無(wú)理不等式（1） . （2） . （3） . 76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng) 時(shí), ; . (2)當(dāng) 時(shí), ; 77.斜率公式 （ 、 ）. 78.直線的五種方程 （1）點(diǎn)斜式 (直線 過(guò)點(diǎn) ,且斜率為 )．（2）斜截式 (b為直線 在y軸上的截距). （3）兩點(diǎn)式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分別為直線的橫、縱截距, ) （5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0). 79.兩條直線的平行和垂直 (1)若 , ① ; ② . (2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不為零, ① ；② ； 80.夾角公式 (1) . ( , , ) (2) . ( , , ). 直線 時(shí),直線l1與l2的夾角是 . 81. 到 的角公式 (1) . ( , , ) (2) . ( , , ). 直線 時(shí),直線l1到l2的角是 . 82．四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 的直線系方程為 (除直線 ),其中 是待定的系數(shù); 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 的直線系方程為 ,其中 是待定的系數(shù)． (2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線 , 的交點(diǎn)的直線系方程為 (除 ),其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線 中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí),表示平行直線系方程．與直線 平行的直線系方程是 ( ),λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0,B≠0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量． 83.點(diǎn)到直線的距離 (點(diǎn) ,直線 ： ). 84. 或 所表示的平面區(qū)域設(shè)直線 ,則 或 所表示的平面區(qū)域是：若 ,當(dāng) 與 同號(hào)時(shí),表示直線 的上方的區(qū)域；當(dāng) 與 異號(hào)時(shí),表示直線 的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下. 若 ,當(dāng) 與 同號(hào)時(shí),表示直線 的右方的區(qū)域；當(dāng) 與 異號(hào)時(shí),表示直線 的左方的區(qū)域. 簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左. 85. 或 所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線 （ ）,則 或 所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 ( ＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是 、 ). 87. 圓系方程 (1)過(guò)點(diǎn) , 的圓系方程是 ,其中 是直線 的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過(guò)直線 : 與圓 : 的交點(diǎn)的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)．