兩邊直接取微分,得2xdx+2ydy+2zdz = e^(yz)dy+yd(e^(yz)) = e^(yz)dy+yze^(yz)dy+y²e^(yz)dz.
整理得(y²e^(yz)-2z)dz = 2xdx+(2y-(1+yz)e^(yz))dy ①.
故dz = (2xdx+(2y-(1+yz)e^(yz))dy)/(y²e^(yz)-2z) (要求y²e^(yz)-2z ≠ 0).
如果對(duì)上述方法的嚴(yán)格性有疑問(wèn),可以從隱函數(shù)定理的角度來(lái)考慮.
對(duì)于z = z(x,y),由全微分定義有dz = (∂z/∂y)dy+(∂z/∂x)dx.
設(shè)F(x,y,z) = ye^(yz)-x²-y²-z²,則由隱函數(shù)定理,在∂F/∂z ≠ 0處成立:
∂z/∂y = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z),∂z/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂z).
故dz = -(∂F/∂y)/(∂F/∂z)·dy-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)·dx ②.
而①式作為對(duì)F直接取微分的結(jié)果,就是(∂F/∂z)dz = -(∂F/∂y)dy-(∂F/∂x)dx.
在∂F/∂z ≠ 0時(shí)就可以除掉得到②式,所以直接微分的方法是有依據(jù)的.
嚴(yán)格來(lái)說(shuō)還要驗(yàn)證隱函數(shù)定理的其他條件,例如F連續(xù)可微性.
不過(guò)本題的函數(shù)很明顯成立,所以就省略了.