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  • 過實點M(1,2)且以y軸為準線的焦點F的軌跡是( )

    過實點M(1,2)且以y軸為準線的焦點F的軌跡是( )
    A.圓(去掉一點)
    B.橢圓(去掉一點)
    C.拋物線(去掉一點)
    D.雙曲線(去掉一點)
    數(shù)學人氣:871 ℃時間:2020-03-27 19:32:46
    優(yōu)質(zhì)解答
    A、C、D
    (一)有準線的曲線有可能是拋物線、橢圓和雙曲線,先看拋物線:
    平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線,
    點F叫拋物線的焦點,
    直線l叫做拋物線的準線.
    設(shè)F點的坐標為(x1,y1)
    根據(jù)拋物線的定義,
    根下[(x-x1)^2+(y-y1)^2]=x1
    (x-x1)^2+(y-y1)^2=x1^2
    x^2-2x1x+y^2-2yy1+y1^=0
    因為拋物線過點(1,2)
    所以:1^2-2x1*1+2^2-2*2*y1+y1^2=0
    5-2x1-4y1+y1^2=0
    (y1-2)^2=2(x1-1/2)
    從方程看,符合條件拋物線的焦點F的軌跡仍然為一拋物線,拋物線的對稱軸為y=2,頂點坐標(1/2,2),焦點坐標(3/2,2),準線x=-1/2
    (二)再看橢圓
    橢圓第二定義定義:平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點的集合
    設(shè)焦點坐標為F(x1,y1),準線x=0,根據(jù)定義橢圓的方程為:
    x^2/[-x1)^2+(y-y1)^2]k^2
    過(1,2)點,所以:
    1^2/k^2=(1-x1)^2+(2-y1)^2
    即(x-1)^2+(y-2)^2=k^2
    從方程看,符合條件橢圓的焦點F的軌跡為圓,圓心為(1,2),半徑為k.
    (三)再看雙曲線:
    雙曲線第二定義:平面內(nèi)點M與一定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)e(e>1),這個點M的軌跡是雙曲線,定點是雙曲線的焦點,它直線是雙曲線的準線.
    按照上述方法,可以得出焦點F的軌跡仍為雙曲線.
    綜上所述,A、C、D正確,B錯誤
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