不定方程ax+by=c,(a,b)=1,若（x0,y0)是一組解,則所有解可表成：
x=x0+bt
y=y0-at,（t是整數(shù))
下面證明一下
為表示方便,設(shè)x1=x0+bt,y1=y0-at是任一組解
一方面,把x1,x2表達(dá)式代入ax+by=a(x0+bt)+b(y0-at)
=ax0+abt+by0-abt=ax0+by0=c
所以(x1,y1)確是ax+by=c的解,且(x1,y1)=(x0,y0)只要取t=0即可
另一方面,設(shè)ax+by=c有另一組解(x1,y1),則有方程組
ax0+by0=c①
ax1+by1=c②
①-②得a(x1-x0)=b(y0-y1)
根據(jù)整除性質(zhì),顯然有a│b(y0-y1),b│a(x1-x0)
但(a,b)=1故有a│y0-y1,b│x1-x0
不妨設(shè)x1-x0=bt1,y0-y1=at2(t1,t2∈Z),則x1=x0+bt1,y1=y0-at2,
代入②得a(x0+bt1)+b(y0-at2)=c+ab(t1-t2)=c
故ab(t1-t2)=0,所以t1=t2
設(shè)t1=t2=t,則通解為x=x0+bt,y=y0-at
證畢!