這是一條北大教授在調(diào)研各地中學(xué)生數(shù)學(xué)知識時出的問題,當(dāng)時那位老教授問了一個班,可是整個班算了半天也沒有做出來,答案可以猜出來,不過還是給你整個證明方法吧.
數(shù)學(xué)歸納法：
N=1 x-1=(x-1)(1)
N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)
N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
...
現(xiàn)假設(shè)
N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
求證
N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
下面證明
x^(n+1)-1=x(x^n-1)+x-1=x{(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]}+x-1
={(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x]}+(x-1)
=(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x+1]
所以得證,于是得
x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
現(xiàn)在知道了嗎?