假設(shè)有一個(gè)三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
證明（1）：
與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明.設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則余弦定理為
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設(shè)p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）：
我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”.它與海倫公式基本一樣,其實(shí)在《九章算術(shù)》中,已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”,在實(shí)際丈量土地面積時(shí),由于土地的面積并不是的三角形,要找出它來并非易事.所以他們想到了三角形的三條邊.如果這樣做求三角形的面積也就方便多了.但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋,我國著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了“三斜求積術(shù)”.
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.“術(shù)”即方法.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個(gè).相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”,作1作為“隅”,開平方后即得面積.
所謂“實(shí)”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p為“隅”,Q為“實(shí)”.以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
當(dāng)P＝1時(shí),△ 2＝q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致,所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”.
S=c/2*根號(hào)下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.