設圓上任意點為P(m,n),則有 m^2+n^2=5
設過P點的直線斜率為k,則有 y=k(x-m)+n
代入橢圓得 2x^2+3[k(x-m)+n]^2=6,
整理得
(2+3k^2)x^2-6k(km-n)x+3[(km-n)^2-2]=0
過橢圓外一點可做兩條橢圓的切線,設其斜率分別為k1,k2
則當k取定值時,直線與橢圓只有一個交點
即有 △=[6k(km-n)]^2-4*3(2+3k^2)[(km-n)^2-2]=0
整理化簡可得 (m^2-3)k^2-2mnk+n^2-2=0
那么,k1,k2即為上述方程的兩個解
∴由韋達定理有 k1k2=(n^2-2)/(m^2-3)
由m^2+n^2=5經(jīng)適當變形可得n^2-2=3-m^2=-(m^2-3)
即有 (n^2-2)/(m^2-3)=-1
∴有 k1k2=-1,即兩切線斜率乘積為-1