我是高數(shù)菜鳥,請教一個關(guān)于極限和界限的定理證明題.有些疑問請求指教
定理 若數(shù)列{ xn } 有極限,則{ xn }有界（n是下標）
證明要證明：存在正數(shù)M,使得所有xn都滿足不等式
|xn| ≤ M (n=1,2,………)
設(shè)Lim xn =a 則由定義知道,對ε=1,存在正整數(shù)N,使得當n>N 時,有|xn -a| < 1,
n→∞
從而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a|
取M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,…|xN|}則不等式|xn| ≤ M 對一切正整數(shù)n 成立,即有 界 { xn }有界.
疑問1：ε一般情況下,不是無窮小嗎,這里怎么設(shè)定為1?
疑問2：M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,…|xN|}這個集合怎么來的?什么意思?為什么這樣設(shè)?
更正：從而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a| < 1+|a|漏寫< 1+|a| 了。
整個證明過程中，沒發(fā)現(xiàn)設(shè)定為1 有什么作用。如果ε不設(shè)定為1，則xn -a|