中位線(xiàn)
1.中位線(xiàn)概念：
(1)三角形中位線(xiàn)定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．
(2)梯形中位線(xiàn)定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做梯形的中位線(xiàn)．
注意：
(1)要把三角形的中位線(xiàn)與三角形的中線(xiàn)區(qū)分開(kāi)．三角形中線(xiàn)是連結(jié)一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的 線(xiàn)段,而三角形中位線(xiàn)是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段．
(2)梯形的中位線(xiàn)是連結(jié)兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段而不是連結(jié)兩底中點(diǎn)的線(xiàn)段．
(3)兩個(gè)中位線(xiàn)定義間的聯(lián)系：可以把三角形看成是上底為零時(shí)的梯形,這時(shí)梯形的中位線(xiàn)就變成三角形的中位線(xiàn)．
2.中位線(xiàn)定理：
(1)三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于它的一半．
(2)梯形中位線(xiàn)定理：梯形的中位線(xiàn)平行于兩底,并且等于兩底和的一半．
中位線(xiàn)是三角形與梯形中的一條重要線(xiàn)段,由于它的性質(zhì)與線(xiàn)段的中點(diǎn)及平行線(xiàn)緊密相連,因此,它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．
例1 如圖2-53所示．△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面積．
分析 由條件知,EF,EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線(xiàn)．利用中位線(xiàn)的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系,不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長(zhǎng)．
解 由已知,E,F分別是AB,BD的中點(diǎn),所以,EF是△ABD的一條中位線(xiàn),所以
由條件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米),
從而 AD=8(厘米),
由于E,G分別是AB,AC的中點(diǎn),所以EG是△ABC的一條中位線(xiàn),所以
BC=2EG=2×6=12(厘米),
顯然,AD是BC上的高,所以
例2 如圖 2-54 所示．△ABC中,∠B,∠C的平分線(xiàn)BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H．
(1)求證：GH‖BC；
(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH．
分析 若延長(zhǎng)AG,設(shè)延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于M．由角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可以證明△ABG≌△MBG,從而G是AM的中點(diǎn)；同樣,延長(zhǎng)AH交BC于N,H是AN的中點(diǎn),從而GH就是△AMN的中位線(xiàn),所以GH‖BC,進(jìn)而,利用△ABC的三邊長(zhǎng)可求出GH的長(zhǎng)度．
(1)證 分別延長(zhǎng)AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
從而,G是AM的中點(diǎn)．同理可證
△ACH≌△NCH(ASA),
從而,H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線(xiàn),從而,HG‖MN,即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以
AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米,所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米),
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
從而
MN=18-4-9=5(厘米),
說(shuō)明 (1)在本題證明過(guò)程中,我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線(xiàn)三線(xiàn)合一(即等腰三角形頂角的平分線(xiàn)也是底邊的中線(xiàn)及垂線(xiàn))性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)也是該角對(duì)邊的垂線(xiàn),則這條平分線(xiàn)也是對(duì)邊的中線(xiàn),這個(gè)三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三線(xiàn)合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)也是該角對(duì)邊的中線(xiàn),則這個(gè)三角形是等腰三角形,這條平分線(xiàn)垂直于對(duì)邊”．同學(xué)們不妨自己證明．
(3)從本題的證明過(guò)程中,我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B,∠C的平分線(xiàn)”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線(xiàn)”(如圖2-55所示),或改為“∠B,∠C的外角平分線(xiàn)”(如圖2-56所示),其余條件不變,那么,結(jié)論GH‖BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．
例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),四邊形BCPQ是平行四邊形,A′,B′,C′,D′分別是AP,PB,BQ,QA的中點(diǎn)．求證：A′C′=B′D′．
分析 由于A′,B′,C′,D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP,PB,BQ,QA的中點(diǎn),有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形,A′C′與B′D′則是它的對(duì)角線(xiàn),從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件,不難證明這一點(diǎn)．
證 連接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,這四條線(xiàn)段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位線(xiàn)．從而
A′B′‖AB,B′C′‖PQ,
C′D′‖AB,D′A′‖PQ,
所以,A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四邊形,所以
AB⊥BC,BC‖PQ．
從而
AB⊥PQ,
所以 A′B′⊥B′C′,
所以四邊形A′B′C′D′是矩形,所以
A′C′=B′D′． ①
說(shuō)明 在解題過(guò)程中,人們的經(jīng)驗(yàn)?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開(kāi)拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線(xiàn)是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn),對(duì)尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn),對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有益處的．
例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中,CD＞AB,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)．求證：
分析 在多邊形的不等關(guān)系中,容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線(xiàn),為此,取AD中點(diǎn)．
證 取AD中點(diǎn)G,連接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位線(xiàn)(已知E是AC的中點(diǎn)),所以
同理,由F,G分別是BD和AD的中點(diǎn),從而,FG是△ABD的中位線(xiàn),所以
在△EFG中,
EF＞EG-FG． ③
由①,②,③
例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中,AB‖CD,E為BC的中點(diǎn),AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．
分析 本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°．
在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下,添梯形的中位線(xiàn)作為輔助線(xiàn),若能證明,該中位線(xiàn)是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半,則問(wèn)題獲解．
證 取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F,連接EF,則EF是梯形ABCD的中位線(xiàn),所以
因?yàn)锳D=AB+CD,所以
從而
∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內(nèi)角和等于180°)．從而
∠AED=∠2+∠3=90°,
所以 DE⊥AE．
例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線(xiàn)l,D,E,F分別是三邊的中點(diǎn),AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1．求證：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 顯然ADEF是平行四邊形,對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線(xiàn),OO1恰是兩個(gè)梯形的公共中位線(xiàn)．利用中位線(xiàn)定理可證．
證 連接EF,EA,ED．由中位線(xiàn)定理知,EF‖AD,DE‖AF,所以ADEF是平行四邊形,它的對(duì)角線(xiàn)AE,DF互相平分,設(shè)它們交于O,作OO1⊥l于O1,則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線(xiàn),所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
練習(xí)十四
1．已知△ABC中,D為AB的中點(diǎn),E為AC上一點(diǎn),AE=2CE,CD,BE交于O點(diǎn),OE=2厘米．求BO的長(zhǎng)．
2．已知△ABC中,BD,CE分別是∠ABC,∠ACB的平分線(xiàn),AH⊥BD于H,AF⊥CE于F．若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的長(zhǎng)．
3．已知在△ABC中,AB＞AC,AD⊥BC于D,E,F,G分別是AB,BC,AC的中點(diǎn)．求證：∠BFE=∠EGD．
4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中,AD=BC,E,F分別是CD,AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)AD,BC,分別交FE的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,G．求證：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn)(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．
6．如圖2-63所示．D,E分別在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中點(diǎn)分別是M,N,直線(xiàn)MN分別交AB,AC于P,Q．求證：AP=AQ．
7．已知在四邊形ABCD中,AD＞BC,E,F分別是AB,CD