樣本方差公式N-1的奧妙
我已經(jīng)知道了兩種解釋：但都看不懂
不懂得地方已經(jīng)用括號(hào)寫(xiě)下來(lái)了
希望達(dá)人指教 多給幾種解釋最好,
1.總體方差為σ2,均值為μ
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
X表示樣本均值=(X1+X2+...+Xn)/n
設(shè)A=(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2
E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2.+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]
而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ2+μ2
E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ2/n+μ2 （為什么是N分之方差）
所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
=n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2)
=(n-1)σ2
所以為了保證樣本方差的無(wú)偏性
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2
2.自由度也可以解釋,不是有n個(gè)與均值偏差的平方和嗎?正好這n個(gè)表達(dá)式之和等于0,也就是說(shuō)本來(lái)n維自由度的,受限于一個(gè)條件.所以變成了n－1維了.另外樓上說(shuō)的無(wú)偏性最為根本,才是修正的根本原因.
還有一點(diǎn),正是因?yàn)闊o(wú)偏的緣故,大樣本情況下,除以n－1和n結(jié)果偏差不大,所以要追求性質(zhì)更好的那個(gè)估計(jì)了.
（關(guān)鍵是自由度和除有什么關(guān)系）
總體的方差是由各數(shù)據(jù)與總體平均數(shù)的差值求出來(lái)的，因此必須將總體平均數(shù) 固定后才可以求總體的方差。但是由于總體平均數(shù)被固定，它就不能獨(dú)立自由變化，方差受到總體平均數(shù)的限制，少了一個(gè)自由變化的機(jī)會(huì)，因此，使用樣本方差來(lái)估計(jì)總體的方差時(shí)，分母的n必須改為(n-1)才不會(huì)低估總體的方差，這里(n-1)是樣本的自由度，又叫總體方差的無(wú)偏估計(jì)值。
自由度是N-1，為什么要方差要除N-1？