如圖,A.B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè),分別到河的距離AC=6千米,BD=14千米,且CD=15千米,現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠,向A.B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn),請(qǐng)?jiān)诤恿鰿D上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省,并求出總費(fèi)用.
本題就是求河上一點(diǎn)到到A、B兩小鎮(zhèn)距離和最小
可以參考初中牽馬到河邊喝水的解法
做A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)A′,使AC=A′C,連接A′B交CD于P,
AC=A′C,
AC⊥CD,所以∠ACP=∠A′CP=90
CP=CP
因此△ACP≌△A′CP
AP=A′P
現(xiàn)在要求AP+BP最小,也就是A′P+BP最小,因此只要A′、B、P在一條直線上即可
此時(shí)做A′D平行CD,交BD延長(zhǎng)線于E
簡(jiǎn)單可得三角形A′EB是直角三角形,四邊形A′EDC是矩形,所以A′E=CD=30,DE=A′C=10
在直角三角形A′EB中,A′E=30,BE=BD+DE=40
根據(jù)勾股定理,A′B=50
因此A、B到水廠距離和最小為50千米
總費(fèi)用為：50×3=150（萬(wàn)元）