在平面幾何中,點(diǎn)和線稱為對(duì)偶元素.過一點(diǎn)畫一條直線和在一條直線上標(biāo)出一個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)偶運(yùn)算.兩個(gè)圖形,如果一個(gè)可以從另一個(gè)把其中的元素和運(yùn)算替換為對(duì)偶的元素和運(yùn)算而達(dá)到,就稱為對(duì)偶的.兩個(gè)定理,如果一個(gè)定理中的所有元素和運(yùn)算替換為對(duì)偶的就成為另一個(gè)定理時(shí),叫做對(duì)偶的.如果其中一個(gè)定理真實(shí),則另一個(gè)必然真實(shí).關(guān)于上述這一事實(shí),是彭色列在建立射影幾何學(xué)理論時(shí)首先發(fā)現(xiàn)的.事實(shí)上,射影幾何中所有的定理都是成對(duì)出現(xiàn)的.于是我們?cè)谏溆皫缀蝺?nèi)有如下對(duì)偶原理：
射影幾何中的任一個(gè)成立的定理的對(duì)偶,同樣是射影幾何中的一個(gè)真實(shí)的定理.
是什么保證了這個(gè)對(duì)偶原理的正確性呢?這要追溯到幾何基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)中去.在希爾伯特幾何公理系統(tǒng)中的點(diǎn)、線、面、位于、通過等名詞都是一些抽象的元素和關(guān)系,可以允許給予不同的具體解釋.其演繹系統(tǒng)的性質(zhì),完全由公理系統(tǒng)中成立的關(guān)系給出.我們可以把射影幾何也建立在這樣的抽象元素和關(guān)系的公理系統(tǒng)上去.我們給出無定義的點(diǎn)、線和關(guān)聯(lián),以及象下面這樣的對(duì)偶公理：“每兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)聯(lián)著唯一的一條直線”和“每兩條不同的直線關(guān)聯(lián)著唯一的一點(diǎn)”等等.這樣一來,任何一個(gè)定理,如果在它的敘述和證明中,只包含與對(duì)偶公理有關(guān)的元素,那么其中一定準(zhǔn)許對(duì)偶化.因?yàn)樵ɡ淼淖C明在于某些公理的連續(xù)應(yīng)用,而按同樣順序應(yīng)用其對(duì)偶原理,這樣就得到了關(guān)于對(duì)偶定理的證明.正由于公理的對(duì)偶性,才保證了對(duì)偶原理的正確性.
-----
對(duì)偶是一種廣義對(duì)稱.對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的重要特征之一.因此,對(duì)偶原理從方法論的角度來講,便是數(shù)學(xué)的美學(xué)方法的一個(gè)具體體現(xiàn),而且這一美學(xué)方法又與真緊密聯(lián)系在一起,因此,它的作用也就顯得更加重要了.