最小二乘法的問(wèn)題
最小二乘法
在我們研究?jī)蓚€(gè)變量(x,y)之間的相互關(guān)系時(shí),通常可以得到一系列成對(duì)的數(shù)據(jù)(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；將這些數(shù)據(jù)描繪在x -y直角坐標(biāo)系中(如圖1),若發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條直線附近,可以令這條直線方程如(式1-1).
Y計(jì)= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意實(shí)數(shù)
為建立這直線方程就要確定a0和a1,應(yīng)用《最小二乘法原理》,將實(shí)測(cè)值Yi與利用(式1-1)計(jì)算值(Y計(jì)=a0+a1X)的離差(Yi-Y計(jì))的平方和〔∑(Yi - Y計(jì))2〕最小為“優(yōu)化判據(jù)”.
令:φ = ∑(Yi - Y計(jì))2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
當(dāng)∑(Yi-Y計(jì))平方最小時(shí),可用函數(shù) φ 對(duì)a0、a1求偏導(dǎo)數(shù),令這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)等于零.
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的兩個(gè)關(guān)于a0、 a1為未知數(shù)的兩個(gè)方程組,解這兩個(gè)方程組得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
這時(shí)把a(bǔ)0、a1代入(式1-1)中,此時(shí)的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即：
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以上是我找的相關(guān)內(nèi)容,問(wèn)題也在其中
在百度找好多類是答案都沒(méi)有我想要的答案
我是想知道為什么
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
我知道是用誤差平方求最小值
可是是怎么從φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
變到(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
的呢?
求平方和最小就是在第二個(gè)方程式左右兩邊乘以Xi?