無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù),即無限不循環(huán)小數(shù). 如圓周率、2的平方根等.
有理數(shù)是所有的分數(shù),整數(shù),它們都可以化成有限小數(shù),或無限循環(huán)小數(shù).如7/22等.
實數(shù)（real munber)分為有理數(shù)和無理數(shù)(irrational number).
·無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時,有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),
比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點,人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù).
2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.根據(jù)這一點,有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子,把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”,把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”.本來嘛,無理數(shù)并不是不講道理,只是人們最初對它不太了解罷了.
利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別,可以證明√2是無理數(shù).
證明：假設(shè)√2不是無理數(shù),而是有理數(shù).
既然√2是有理數(shù),它必然可以寫成兩個整數(shù)之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q沒有公因數(shù)可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數(shù),即最簡分數(shù)形式.
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶數(shù),p 必定為偶數(shù),設(shè)p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數(shù),設(shè)q=2n
既然p和q都是偶數(shù),他們必定有公因數(shù)2,這與前面假設(shè)p/q是最簡分數(shù)矛盾.這個矛盾是由假設(shè)√2是有理數(shù)引起的.因此√2是無理數(shù).