一元二次方程的解法有如下幾種:
第一種:運(yùn)用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次項(xiàng)系數(shù)為1的和二次項(xiàng)系數(shù)不為1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本題運(yùn)用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解為(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1.
例2：X^2-8X+16=0
本題運(yùn)用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解為（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此類(lèi)問(wèn)題,一定要寫(xiě)X1=X2=某個(gè)數(shù),不能只寫(xiě)X=某個(gè)數(shù),因?yàn)橐辉畏匠桃欢ㄓ袃蓚€(gè)根,兩個(gè)根可以相同,也可以不同）
例3：X^2-9=0
本題運(yùn)用因式分解法中的平方差公式,原方程分解為（X-3）（X+3）=0 ,可以得出X1=3,X2=-3.
例4：X^2-5X=0
本題運(yùn)用因式分解法中的提取公因式法來(lái)解,原方程分解為X（X-5）=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5
第二種方法是配方法,比較復(fù)雜,下面舉一個(gè)例來(lái)說(shuō)明怎樣用配方法來(lái)解一元二次方程：
X^2+2X-3=0
第一步：先在X^2+2X后加一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng),使之能成為一項(xiàng)完全平方式,那么根據(jù)題目,我們可以得知應(yīng)該加一個(gè)1這樣就變成了（X+1)^2.
第二步：原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,兩個(gè)葵花子對(duì)比之后發(fā)現(xiàn)要在常數(shù)項(xiàng)后面減去4,才會(huì)等于原式,所以最后用配方法后得到的式子為(X+1)^2-4=0,最后可解方程.
還有一種方法就是開(kāi)平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11.
最后如果用了上面所有的方法都無(wú)法解方程,那就只能像樓上所說(shuō)的用求根公式了.
定理就是韋達(dá)定理,還有根的判別式,韋達(dá)定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,兩根之積就是c/a
舉例：X^2-4X+3=0 兩根之和就是-(-4/1)=4,兩根之積就是3/1=3,（你可以自己解一下,看看是否正確）.
因式分解法：把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式,讓
兩個(gè)一次因式分別等于零,得到兩個(gè)一元一次方程,解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個(gè)
根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化簡(jiǎn)整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解.
注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解,應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解.
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò))
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解.
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 •2 ,∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.
小結(jié)：
一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應(yīng)用因式分解法時(shí),一般要先將方程寫(xiě)成一般
形式,同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).
直接開(kāi)平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法適用于任何一元二次方程（有人稱(chēng)之為萬(wàn)能法）,在使用公式
法時(shí),一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值,以便判斷方程
是否有解.
配方法是推導(dǎo)公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程.但是,配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方
法之一,一定要掌握好.（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法,配方法,待定系數(shù)法）.
例5．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(選學(xué)）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應(yīng)觀察題目有無(wú)特點(diǎn),不要盲目地先做乘法運(yùn)算.觀察后發(fā)現(xiàn),方程左邊可用平方差
公式分解因式,化成兩個(gè)一次因式的乘積.
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解.
（3）化成一般形式后利用公式法解.
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (選學(xué)）
分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同類(lèi)項(xiàng)化成一般形式后再做將會(huì)比較繁瑣,仔細(xì)觀察題目,我
們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個(gè)整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實(shí)際上是運(yùn)用換元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解.
例7．用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方)
(x+)2= (配方)
當(dāng)p2-4q≥0時(shí),≥0（必須對(duì)p2-4q進(jìn)行分類(lèi)討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當(dāng)p2-4q