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  • 把一個四位數(shù)的四個數(shù)字顛倒順序(顛倒順序后仍為四位數(shù)),將所得到的數(shù)與原數(shù)相加.如果所得到的和數(shù)能被35整除,則稱這個四位數(shù)為“好數(shù)”.那么,所有的四位數(shù)中,好數(shù)有多少個?

    把一個四位數(shù)的四個數(shù)字顛倒順序(顛倒順序后仍為四位數(shù)),將所得到的數(shù)與原數(shù)相加.如果所得到的和數(shù)能被35整除,則稱這個四位數(shù)為“好數(shù)”.那么,所有的四位數(shù)中,好數(shù)有多少個?
    數(shù)學人氣:288 ℃時間:2020-06-26 07:40:34
    優(yōu)質(zhì)解答
    因35=5×7,所以“能被35整除”可以理解為“既能被5整除,又能被7整除”,
    設這個4位數(shù)為abcd,則顛倒順序后為dcba,則,兩數(shù)之和為:
    (1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a),
    =1001(a+d)+110(b+c),
    =11×13×7×(a+d)+11×5×2×(b+c);
    其中,11×13×7×(a+d)滿足被7整除的條件,還需滿足被5整除的條件即可,所以a+d需能被5整除.
    此時,a+d可能等于5、10、15三種情況.
    其中,11×5×2×(b+c)滿足被5整除的條件,還需滿足被7整除的條件即可,所以b+c需能被7整除,
    此時,b+c可能等于0、7、14三種情況.
    因為顛倒順序后仍為四位數(shù),則d≠0,滿足a+d等于5或10或15的組合有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)、(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)、(6,9)、(7,8)、(8,7)、(9,6),共17種;
    滿足b+c等于0或7或14的組合有(0,0)、(0,7)、(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)、(7,0)、(5,9)、(6,8)、(7,7)、(8,6)、(9,5),共14等種;
    17×14=238種,即題中所說好數(shù)為238個.
    答:好數(shù)有238個.
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