例如：求12與18的最大公因數(shù).
12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12.
18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18.
12與18的公因數(shù)有：1、2、3、6.
12與18的最大公因數(shù)是6.
這種方法對(duì)求兩個(gè)以上數(shù)的最大公因數(shù),特別是數(shù)目較大的數(shù),顯然是不方便的.于是又采用了給每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)的方法.
12＝2×2×3
18＝2×3×3
12與18都可以分成幾種形式不同的乘積,但分成質(zhì)因數(shù)連乘積就只有以上一種,而且不能再分解了.所分出的質(zhì)因數(shù)無疑都能整除原數(shù),因此這些質(zhì)因數(shù)也都是原數(shù)的約數(shù).從分解的結(jié)果看,12與18都有公因數(shù)2和3,而它們的乘積2×3＝6,就是12與18的最大公因數(shù).
采用分解質(zhì)因數(shù)的方法,也是采用短除的形式,只不過是分別短除,然后再找公因數(shù)和最大公因數(shù).如果把這兩個(gè)數(shù)合在一起短除,則更容易.
從短除中不難看出,12與18都有公因數(shù)2和3,它們的乘積2×3＝6就是12與18的最大公因數(shù).與前邊分別分解質(zhì)因數(shù)相比較,可以發(fā)現(xiàn)：不僅結(jié)果相同,而且短除法豎式左邊就是這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù),而兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù),就是這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)的連乘積.
實(shí)際應(yīng)用中,是把需要計(jì)算的兩個(gè)或多個(gè)數(shù)放置在一起,進(jìn)行短除,如附圖1.
在計(jì)算多個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí),對(duì)其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出,其它無此因數(shù)的數(shù)則原樣落下.最后把所有因數(shù)和最終剩下每?jī)蓚€(gè)都是互質(zhì)關(guān)系（除1以外沒有其他公因數(shù)）的數(shù)連乘即得到最小公倍數(shù).如圖2.