設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f{(x1+x2)/2}×f{(x1-x2)/2},且f(π/2)=0,f(π)=-1,
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f{(x1+x2)/2}×f{(x1-x2)/2},且f(π/2)=0,f(π)=-1,
(1)求f(0)的值
2）求證:f(x)是偶函數(shù),且f(π-x)=-f(x)
(1)求f(0)的值
2）求證:f(x)是偶函數(shù),且f(π-x)=-f(x)
數(shù)學(xué)人氣：436 ℃時間：2019-12-15 05:47:36
優(yōu)質(zhì)解答
1.
∵f(X1)+f(X2)=2f{(X1+X2)/2}f{(X1-X2)/2},令X2=X1,得
2f(X1)=2f(X1）f(0),即有f(X1)[1－f(0)]=0
又∵對任意實數(shù)x1上式都成立
∴1－f(0)=0
∴f(0)=1
2.
令X1=X,X2=-X,則有
f(X)+f(-X)=2f(0)f(X）
∵f(0）=1,∴f(-X)=f(X）
∴f(x)是偶函數(shù)
再令X1=∏-X,X2=X,則有
f(∏-X)+f(X)=2f(∏/2）f{(∏-2X)/2}
∵f(π/2)=0,∴f(∏-X)+f(X)=0即有
f(π-x)=-f(x)
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