代入a = b = c = 1/3得,m/9 ≥ 3,因此m ≥ 27.
以下證明m = 27時(shí)不等式成立.
∵a > 0,9a³ > 0,
∴9a³+a ≥ 2·√(9a³·a) = 6a² (均值不等式),
∴9a³ ≥ 6a²-a.
另一方面,
∵27a³ > 0,1 > 0,
∴27a³+2 = 27a³+1+1 ≥ 3·³√(27a³·1·1) = 9a (均值不等式),
∴18a³ ≥ 6a-4/3.
于是27a³ = 9a³+18a³ ≥ 6a²-a+6a-4/3 = 6a²+5a-4/3.
同理,27b³ ≥ 6b²+5b-4/3,27c³ ≥ 6c²+5c-4/3.
相加得27(a³+b³+c³) ≥ 6(a²+c²+c²)+5(a+b+c)-4 = 6(a²+b²+c²)+1.
因此m的最小值就是27.
注:使用均值不等式時(shí),系數(shù)的選擇是為了a = 1/3時(shí)可以成立等號(hào).