幻方最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中,這說明我國人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律.而在國外,公元130年,希臘人塞翁才第一次提起幻方.我國不僅擁用幻方的發(fā)明權(quán),而且是對幻方進(jìn)行深入研究的國家.公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3－10階幻方,記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中.在歐洲,直到574年,德國著名畫家丟功才繪制出了完整的4階幻方.
數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明,對于n>2,n階幻方都存在.目前填寫幻方的方法,是把幻方分成了三類,每類又有各種各樣的填寫方法.
1、奇數(shù)階幻方
n為奇數(shù) (n=3,5,7,9,11……) (n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法).填寫方法是這樣：
把1(或最小的數(shù))放在第一行正中； 按以下規(guī)律排列剩下的n×n-1個(gè)數(shù)：
(1)每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格；
(2)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列；
(3)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；
(4)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列,那么就把它放在前一個(gè)數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)；
(5)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入,處理方法同(4).
這種寫法總是先向“右上”的方向,象是在爬樓梯.
2、雙偶階幻方
n為偶數(shù),且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先說明一個(gè)定義.互補(bǔ)：如果兩個(gè)數(shù)字的和,等于幻方最大數(shù)和最小數(shù)的和,即 n*n+1,稱為互補(bǔ).
先看看4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫：
這個(gè)方陣的對角線,已經(jīng)用顏色標(biāo)出.將對角線上的數(shù)字,換成與它互補(bǔ)（同色）的數(shù)字.
這里,n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完后就是一個(gè)四階幻方.
對于n=4k階幻方,我們先把數(shù)字按順序填寫.寫好后,按4*4把它劃分成k*k個(gè)方陣.因?yàn)閚是4的倍數(shù),一定能用4*4的小方陣分割.然后把每個(gè)小方陣的對角線,象制作4階幻方的方法一樣,對角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字,就構(gòu)成幻方.
3、單偶階幻方
n為偶數(shù),且不能被4整除 (n=6,10,14,18,22……) (n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
這是三種里面最復(fù)雜的幻方.
以n=10為例.這時(shí),k=2
(1) 把方陣分為A,B,C,D四個(gè)象限,這樣每一個(gè)象限肯定是奇數(shù)階.用樓梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù).
(2) 在A象限的中間行、中間格開始,按自左向右的方向,標(biāo)出k格.A象限的其它行則標(biāo)出最左邊的k格.將這些格,和C象限相對位置上的數(shù),互換位置.
(3) 在B象限任一行的中間格,自右向左,標(biāo)出k-1列.(注：6階幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的數(shù)據(jù)交換),將B象限標(biāo)出的這些數(shù),和D象限相對位置上的數(shù)進(jìn)行交換,就形成幻方.
看起來很麻煩,其實(shí)掌握了方法就很簡單了.