x^2+y^2=r^2;
z=k·[2π+arctan(y/x)];
其中r為螺旋半徑;
k·2π是每旋轉(zhuǎn)一周在z軸上上升的距離;
則k,r均為常數(shù).
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先找到極坐標(biāo)方程形式:
r=r0+k·θ
k和r0為常數(shù).k為曲率;ro為初始的半徑.
則θ=(r-r0)/k;
則cosθ=cos[(r-r0)/k];
r·cosθ=r·cos[(r-r0)/k].①
設(shè)(x0,y0)為螺旋的初始點,(a,b)為中心圓的圓心,則(x0-a)^2+(y0-b)^2=r0^2.
螺旋線上一點(x,y)到(a,b)距離為r.于是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
而x-a=r·cosθ;y-b=r·sinθ.
∴代入式①得:
x-a=√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].
則x=a+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k]
就是以 中心在(a,b),半徑為r0的圓 為初始圓的等距螺旋線的方程.
或者寫成:
y=b+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·sin[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].