（1）已知點A（-1，-1）在已知拋物線上，
則（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
當k=1時，函數(shù)y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1為一次函數(shù)，不合題意，舍去，
當k=-3時，拋物線的解析式為y=8x²+10x+1，…（4分）
由拋物線的解析式知其對稱軸為x=-

b

2a

=-

10

2×8

=-

5

8

，
即x=-

5

8

；…（5分）
（2）存在．
理由如下：∵點B與點A關于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1對稱，且A（-1，-1），
∴B（-

1

4

，-1），…（6分）
當直線過B（-

1

4

，-1）且與y軸平行時，此直線與拋物線只有一個交點，
此時的直線為x=-

1

4

，…（8分）
當直線過B（-

1

4

，-1）且不與y軸平行時，
設直線y=mx+n與拋物線y=8x²+10x+1只交于一點B，
則-

1

4

m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m＝6 n＝ 1 2

故所求的直線為y=6x+

1

2

，
綜上所述，存在與拋物線只交于一點B的直線x=-

1

4

或y=6x+

1

2

．…（14分）