開普勒第一定律的證明是我直接在百度知道上復(fù)制粘貼的
設(shè)太陽與行星質(zhì)量分別 M和m,取平面極作標(biāo)系,行星位置用（r,α）來描述.如圖行星位置矢量 是垂直單位矢量.
行星受太陽引力為F=-(GMm/r)r°
首先證明行星一定在同一平面內(nèi)運動,有牛頓第二定律：F=m(dv/dt)
力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0.
d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0.
積分,得r×v=h(常矢量)
上式表明,行星徑矢 r始終與常矢量h正交,故行星一定在同一平面內(nèi)運動.
為了得出行星運動的軌跡,采用圖中平面極坐標(biāo)方向
,取靜止的太陽為極點o,行星位置為(r,α).在平面
極坐標(biāo)中,行星運動有關(guān)物理量如下：
徑行r=r·r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°
r°是徑向單位矢量,α°為徑向垂直單位矢量.
dr/dt是徑向速度分量, r·(dα/dt)是橫向速度分量
速度大小滿足v²=(dr/dt)²+( r·(dα/dt))²
動量mv=m(dr/dt)+m( r·(dα/dt))
角動量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)
得L=m•r ²•(dα/dt)
行星所受的太陽引力指向o點,故對o點力矩M=0,由角動量定理,知角動量守恒.L為常量
太陽行星系統(tǒng)的機界能守恒,設(shè)系統(tǒng)總能量為E,則
E=½mv²-GMm/r
因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式
(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r
上邊兩式同乘m²/ L²,得
dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r
為了簡化式子,令ρ=1/r.則dr/dα=-r²(dρ/dα)
于是方程變?yōu)椋╠r/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²
上式對α求導(dǎo).并注意E與L為常量.得
2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)-GMm/L²(dρ/dα)=0
在通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)便得出開普勒第一定律.
開普勒第二定律的證明來自趙凱華的物理力學(xué)教程
設(shè)在某時刻行星對中心天體的矢徑是r(向量),行星質(zhì)量是m,速度是v(向量),則根據(jù)角動量定義L=r×mv=mr×dl/dt等式兩邊取模得|L|/2m=1/2*|r×dl|/dt根據(jù)數(shù)學(xué)面積公式S=1/2*|a×b|得|L|/2m=dS/dt,由于角動量守恒,所以dS/dt是恒量