有如下結(jié)論：與a向量平行的單位向量是±a/|a|.
下面先證明一下：
【證明】
設(shè)與向量a(x,y)共線的單位向量為a0=(x0,y0),
單位向量即模為1的向量,模為1即根號(hào)（x0^2+y0^2）=1
即 x0^2+y0^2=1……①
向量a0與向量a共線,所以y0/y=x0/x,
即y0 =x0 y /x……②
將②代入①可得：x0^2+ x0^2 y^2 /x^2=1,
x0^2*(( x^2 +y^2) /x^2)=1,
x0^2* =x^2/( x^2 +y^2),
解得x0=±x/√( x^2 +y^2),
將x0代入②可得y0 =±y/√( x^2 +y^2).
其中√( x^2 +y^2)為向量a(x,y)的模.
∴與a共線的單位向量為±a/|a|
已知向量a=(1,1),|a|=√2,
則與向量a共線的單位向量為(√2/2,√2/2)或(-√2/2,-√2/2).
e1、e2是平面內(nèi)互相垂直的兩單位向量,且a=e1+e2,則與a平行的單位向量可以表示為
A a/2
B ±a/2
C a/根號(hào)2
D ±a/根號(hào)2
【解】
因?yàn)閍=e1+e2,
所以|a|^2=( e1+e2)^2
=e1^2+e^2+2e1•e2
=1+1+0
=2,
所以|a|=√2,
∴與a平行的單位向量可以表示為±a/√2.
選D.
【例】與向量a=(-12,5)平行的單位向量的坐標(biāo)是多少?
與a向量平行的單位向量是±a/|a|
因|a|=13
所以答案是±(-12,5)/13
即(-12/13,5/13)或(12/13,-5/13)