初三數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 知識點(diǎn)總結(jié)
一、二次函數(shù)概念：
1．二次函數(shù)的概念：一般地,形如（是常數(shù),）的函數(shù),叫做二次函數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似,二次項系數(shù),而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．
2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
?、?等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量的二次式,的最高次數(shù)是2．
?、?是常數(shù),是二次項系數(shù),是一次項系數(shù),是常數(shù)項．
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：
a 的絕對值越大,拋物線的開口越小.
　　
的符號\x09開口方向\x09頂點(diǎn)坐標(biāo)\x09對稱軸\x09性質(zhì)
\x09向上\x09\x09軸\x09時,隨的增大而增大；時,隨的增大而減小；時,有最小值．
\x09向下\x09\x09軸\x09時,隨的增大而減??；時,隨的增大而增大；時,有最大值．
2. 的性質(zhì)：
上加下減.
的符號\x09開口方向\x09頂點(diǎn)坐標(biāo)\x09對稱軸\x09性質(zhì)
\x09向上\x09\x09軸\x09時,隨的增大而增大；時,隨的增大而減??；時,有最小值．
\x09向下\x09\x09軸\x09時,隨的增大而減??；時,隨的增大而增大；時,有最大值．
3. 的性質(zhì)：
　　左加右減.
的符號\x09開口方向\x09頂點(diǎn)坐標(biāo)\x09對稱軸\x09性質(zhì)
\x09向上\x09\x09X=h\x09時,隨的增大而增大；時,隨的增大而減?。粫r,有最小值．
\x09向下\x09\x09X=h\x09時,隨的增大而減?。粫r,隨的增大而增大；時,有最大值．
4. 的性質(zhì)：
的符號\x09開口方向\x09頂點(diǎn)坐標(biāo)\x09對稱軸\x09性質(zhì)
\x09向上\x09\x09X=h\x09時,隨的增大而增大；時,隨的增大而減?。粫r,有最小值．
\x09向下\x09\x09X=h\x09時,隨的增大而減?。粫r,隨的增大而增大；時,有最大值．
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
　　　方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
　　?、?保持拋物線的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到處,具體平移方法如下：
　　　
2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移,負(fù)左移；值正上移,負(fù)下移”．
概括成八個字“左加右減,上加下減”．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位,變成
（或）
⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位,變成（或）

四、二次函數(shù)與的比較
　　從解析式上看,與是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中．
五、二次函數(shù)圖象的畫法
五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),（若與軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.
　　畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向,對稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn).
　　
六、二次函數(shù)的性質(zhì)
1. 當(dāng)時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)時,隨的增大而減?。划?dāng)時,隨的增大而增大；當(dāng)時,有最小值．
2. 當(dāng)時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時,隨的增大而增大；當(dāng)時,隨的增大而減??；當(dāng)時,有最大值．
七、二次函數(shù)解析式的表示方法
　1. 一般式：（,為常數(shù),）；
　2. 頂點(diǎn)式：（,為常數(shù),）；
　3. 兩根式：（,是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.
注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時,拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系
1. 二次項系數(shù)
　　　二次函數(shù)中,作為二次項系數(shù),顯然．
⑴ 當(dāng)時,拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大；
⑵ 當(dāng)時,拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大．
　　　總結(jié)起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負(fù)決定開口方向,的大小決定開口的大小．
　2. 一次項系數(shù)
　 在二次項系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸．
　 ⑴ 在的前提下,
　　　　當(dāng)時,即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；
　　　　當(dāng)時,即拋物線的對稱軸就是軸；
　　　　當(dāng)時,即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)．
　　?、?在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即
　　　　當(dāng)時,即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；
　　　　當(dāng)時,即拋物線的對稱軸就是軸；
　　　　當(dāng)時,即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)．
　　　總結(jié)起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置．
　　　的符號的判定：對稱軸在軸左邊則,在軸的右側(cè)則,概括的說就是“左同右異”
總結(jié)：
3. 常數(shù)項
⑴ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；
⑵ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；
⑶ 當(dāng)時,拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．
總結(jié)起來,決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．
總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的．
二次函數(shù)解析式的確定：
　　根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问?才能使解題簡便．一般來說,有如下幾種情況：
　　1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式；
　　2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?一般選用頂點(diǎn)式；
　　3. 已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式；
　　4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式．
　　
九、二次函數(shù)圖象的對稱
二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)
　 1. 關(guān)于軸對稱
關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；
　　關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；
2. 關(guān)于軸對稱
關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；
　　關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；
3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱
關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是；
關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是；
4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）
關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是；
　　關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是．
5. 關(guān)于點(diǎn)對稱
　　關(guān)于點(diǎn)對稱后,得到的解析式是
根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時,可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．
十、二次函數(shù)與一元二次方程：
1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：
　一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.
　圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)：
① 當(dāng)時,圖象與軸交于兩點(diǎn),其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離.
　　　② 當(dāng)時,圖象與軸只有一個交點(diǎn)；
　　?、?當(dāng)時,圖象與軸沒有交點(diǎn).
　　　　 當(dāng)時,圖象落在軸的上方,無論為任何實(shí)數(shù),都有；
　　　　 當(dāng)時,圖象落在軸的下方,無論為任何實(shí)數(shù),都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,；
3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：
?、?求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；
　⑵ 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；
⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,的符號,或由二次函數(shù)中,的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合；
⑷ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo),可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo).
⑸ 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式,二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例,揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：
\x09拋物線與軸有兩個交點(diǎn)\x09二次三項式的值可正、可零、可負(fù)\x09一元二次方程有兩個不相等實(shí)根
\x09拋物線與軸只有一個交點(diǎn)\x09二次三項式的值為非負(fù)\x09一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根
\x09拋物線與軸無交點(diǎn)\x09二次三項式的值恒為正\x09一元二次方程無實(shí)數(shù)根.
十一、函數(shù)的應(yīng)用
二次函數(shù)應(yīng)用