設函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),令F(x)=f(x)-f(2-x) (1) 求證：F(x)是R上的增函數(shù)； (2) 若F（x1）+f(x2)

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設函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),令F(x)=f(x)-f(2-x)
(1) 求證：F(x)是R上的增函數(shù)；
(2) 若F（x1）+f(x2)>0,求證：x1+x2>2

數(shù)學人氣：982 ℃時間：2020-05-09 00:51:46

優(yōu)質(zhì)解答

（1）設x1>x2
F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(2-x1)-[f(x2)-f(2-x2)]
=f(x1)-f(x2)+[f(2-x2)-f(2-x1)]
函數(shù)f(x)是實數(shù)集R上的增函數(shù),f(x1)>f(x2)
-x1F(x2),即函數(shù)F(x)是實數(shù)集R上也是增函數(shù).
2.
g(x1)+g(x2)
= f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)- f(2-x1)＞0
f(x2)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2)
因為f(x)為增函數(shù)
所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2
所以x1＞1 x2＞1
所以x1+x2 > 2

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