（1）由解析式可知，點A的坐標(biāo)為（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=

1

2

×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函數(shù)與x軸的負(fù)半軸交于點B，
∴點B的坐標(biāo)為（-3，0）；（2分）
（2）把點B的坐標(biāo)（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-

5

3

．（4分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x²-

5

3

x+4．（5分）
（3）因為△ABP是等腰三角形，
所以：①如圖1，當(dāng)AB=AP時，點P的坐標(biāo)為（3，0）（6分）
②如圖2，當(dāng)AB=BP時，點P的坐標(biāo)為（2，0）或（-8，0）（8分）
③如圖，3，當(dāng)AP=BP時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0）根據(jù)題意，得

x2+42

=|x+3|．
解得x=

7

6

．
∴點P的坐標(biāo)為（

7

6

，0）（10分）
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3，0），（2，0），（-8，0），（

7

6

，0）．