（1）設這個反比例函數的解析式為Y=K/X,因為函數圖象經過A（1,4）點,所以：4=K/1,即K=4,所以該函數的解析式為：Y=4/X；
（2）在Y=4/X中,令Y=2,則X=2,令Y=-2,則X=-2,所以P點的坐標為（2,2）或（-2,-2）；
（3）當P點的坐標為（2,2）時,直線AP的方程為：Y=6-2X,令Y=0,得X=3,所以直線Y=6-2X與X軸相交于（3,0）點,設為B點,所以：三角形AOP的面積S1=三角形AOB的面積S-三角形POB的面積S2=（1/2）*3*4-（1/2）*3*2=3；當P點的坐標為（-2,-2）時,直線AP的方程為：Y=2X+2,令Y=0,得X=-1,所以直線Y=2X+2與X軸相交于（-1,0）點,設為C點,所以：三角形AOP的面積S=三角形AOC的面積S1+三角形POC的面積S2=（1/2）*|-1|*4+（1/2）*|-1|*|-2|=3.