當0
【解】
當|x2-x1|>2時,
因為|sinx2-sinx1|的最大值是2,
所以|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|成立.
當|x2-x1|≤2時,
|sinx2-sinx1|=2|cos((x2+x1)/2)sin((x2-x1)/2)|
因為|cos((x2+x1)/2)|≤1,
所以|sinx2-sinx1|≤2 |sin((x2-x1)/2)|=2sin|(x2-x1)/2|,
因為|(x2-x1)/2|∈(0,1)含于(0,π/2),
根據(jù)上面的結論有：|sin((x2-x1)/2)|< |(x2-x1)/2|
∴|sinx2-sinx1|≤2sin|(x2-x1)/2|<2* |(x2-x1)/2|=|x2-x1|
綜上可知：對任意實數(shù)x1,x2,都有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|.