由題意,A31、A32、A33、A34是行列式D第三行元素的代數(shù)余子式.其中D=
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
2 0 1 -1
1 -5 3 -3
現(xiàn)構造一個新的行列式G,使G=
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
1 3 -2 2
1 -5 3 -3
∴G與D除了第三行元素不同,其余元素均對應相等.
根據(jù)行列式的性質(zhì),G第三行元素的代數(shù)余子式與D第三行元素代數(shù)余子式也對應相等.
即,G按第三行展開,得
G = A31+ 3*A32 - 2*A33 +2* A34………………………………………………（*）
【現(xiàn)在求行列式G的值】
首先,依次將G的第一、三行,第二、四行對換,得
1 3 -2 2
1 -5 3 -3
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
再用第二行減去第一行,第三行減去第一行的 3 倍,第四行加上第一行的 5 倍,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 -8 5 -4
0 16 -7 6
再用第三行減去第二行,第四行加上第二行的 2 倍,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 0 0 1
0 0 3 -4
第四行乘以（- 1）,再將第三、四行對換,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 0 -3 4
0 0 0 1
∴G = 1 * (- 8)* (- 3)* 1 = 24
代入（*）式,得
A31+ 3*A32 - 2*A33 +2* A34 = 24