已知函數(shù)f(x)=|x-a|-lnx(a>0)

已知函數(shù)f(x)=|x-a|-lnx(a>0)
(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值
(2)若a>0,求f(x)單調(diào)區(qū)間
(3)試比較 ln2^/2^+ln3^/3^+ …… +ln(n^)/n^ 與(n-1)(2n+1)/2(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論

其他人氣：189 ℃時間：2020-06-10 18:47:02

優(yōu)質(zhì)解答

【1解】：
f(x)=|x-1|-ln[x],x>0
當(dāng)0f(1)；
當(dāng)x>1,f(x)=x-1-ln[x],f'(x)=1-1/x>0,為遞增函數(shù),f(x)>f(1)；
所以,f(x)的最小值為f(1)=0；
【2解】：
當(dāng)a>1,由（1）可得：（0,a]遞減；[a,無窮)遞增；
當(dāng)0若0若x≥a,則f(x)=x-a-ln[x],f'(x)=1-1/x
x≥1時,f'(x)>0,遞贈；a≤x≤1時,f'(x)<0,遞減；
綜合得：(0,1]遞減；[1,無窮)遞增；
【3解】：
∑{ln[n^2]/n^2}與(n-1)(2n+1)/2(n+1)的大小?n≥2
將(n-1)(2n+1)/2(n+1)視為數(shù)列和S[n],可得a[n]=(n^2+n-1)/n(n+1)
記f(x)=ln(x^2)/x^2；g(x)=(x^2+x-1)/x(x+1),x≥2
由一階導(dǎo)數(shù)f’(x)=(2-4ln(x))/x^3<0(x≥2),g’(x)=(2x+1)/(x^4+2x^3+x^2)>0(x≥2)得：
f(x)遞減,g(x)遞增；
而f(2)=ln4/4所以：∑f(x)<∑g(x)
即：∑{ln[n^2]/n^2}<(n-1)(2n+1)/2(n+1)

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