第二章 光的衍射
1、單縫衍射圖樣亮度分布的推算
現(xiàn)在仍從惠更斯—菲涅耳原理出發(fā),采用振幅矢量法來(lái)處理這一問(wèn)題.
如圖所示,我們?cè)O(shè)想把單縫出的波陣面劃分成N條寬度相等的極窄的狹條,并設(shè)N是一個(gè)很大的數(shù),如N=10或100或1000（圖中,N=10）.第i條處的波陣面發(fā)出的子波振動(dòng)傳到P處所決定的光振動(dòng),可用振幅矢量 表示,那么N個(gè)狹條在P處所決定的合振動(dòng)的振幅矢量A就是
其中每一矢量 的大小都一樣.在相鄰兩狹條處,到P點(diǎn)的光程差依次遞增 ,所以相鄰的兩個(gè)振幅矢量和之間的周相差為 ,第一個(gè) 和最后一個(gè) 之間的周相差為 .由于N數(shù)很大,這些矢量合成時(shí),它們是一個(gè)接一個(gè)的排列在圓弧 上,矢量 就是合振動(dòng)的振幅矢量A,如圖所示.的弧長(zhǎng) ,所對(duì)圓心角 ,圓半徑 ,按幾何關(guān)系可算出
式中的參量
上(4)式表明,如令 ,則
求得中央明條中心 處的合振動(dòng)振幅為
設(shè) 處光強(qiáng)度為 ,P處光強(qiáng)度為I,由于 ,所以
上式所表示單縫衍射圖樣相對(duì)強(qiáng)度的分布情況,如圖中的曲線所示.由上式可知,暗條紋（即I=0處）出現(xiàn)在
時(shí),即暗條紋條件為
這和時(shí)（2）完全一致.由式（5）,求I為極大值的各處,即可算出明條紋區(qū)域中的最明處.令
可知,在,即
時(shí),I取最大值.可用圖解法求解上式,求得
所以除 （中央明條中心）外,其余各處與式（3）所示的 值相比,都要向中央移動(dòng)少許,式（3）僅近似準(zhǔn)確.
2、復(fù)振幅合成法求光柵衍射的光照度公式
設(shè)N是光柵的縫數(shù),是衍射后有任二相鄰縫發(fā)出的次級(jí)子波射達(dá)觀察點(diǎn)的周期相差,則N個(gè)復(fù)振幅矢量將連成正多邊形的一部分.N的數(shù)目越大,這個(gè)正多邊形的一部分就越近于它的外接圓弧.設(shè)r為外接圓的半徑,由圖可知,這N個(gè)復(fù)振幅所對(duì)應(yīng)的圓心角為N ,因此合成復(fù)振幅的模為
設(shè)從每一個(gè)縫發(fā)出的子波射抵觀察點(diǎn)時(shí)復(fù)振幅的模用 表示,它所對(duì)的圓心角是 ,則
由以上二式并令 ,可以得到
將式 帶入上式,可得
（1）
于是光柵衍射的光照度公式為
（2）
式中 ,和 仍分別滿足式 和式 .
式（2）也可用復(fù)振幅積分法得到,仿前可寫(xiě)出光柵衍射產(chǎn)生的振動(dòng)為
由此可求得光柵衍射所產(chǎn)生的合成照度為
這正是式（2）.
我們知道 的最大值是1,也可證明 的最大值等于 .仿照?qǐng)D的三個(gè)圖,也能畫(huà)出光柵衍射的照度分布曲線.請(qǐng)讀者以N=8,為例繪出其圖像.
總結(jié),可知光柵的作用是這樣的：光柵的每一個(gè)縫都要發(fā)生衍射作用,各縫的衍射光波再互相疊加而產(chǎn)生干涉條紋.一般的講,在二相鄰主級(jí)最大值之間會(huì)出現(xiàn)N-1個(gè)最小值（光照度是零）,一個(gè)主最大值兩側(cè)而最小值的間隔二倍于其它兩相鄰最小值的間隔,在二主級(jí)最大值之間會(huì)出現(xiàn)N-2個(gè)次級(jí)最大值.因而隨著N的增大,各主級(jí)最大值的寬度變窄,光照度增強(qiáng).這種條紋變窄、光照度增強(qiáng)的性能是光柵的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn).