將函數(shù)y=e^x、y=sinx、y=cosx用冪級數(shù)展開,有 e^x=exp(x)＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋…＋x^n/n!＋… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… 將式中的x換為ix,得到式； 將i*+式得到式.比較兩式,知與恒等.于是我們導(dǎo)出了e^ix=cosx+isinx,將公式里的x換成-x,得到：e^-ix=cosx-isinx,然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集.P.S.冪級數(shù) c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù),這種級數(shù)稱為冪級數(shù).泰勒展開式(冪級數(shù)展開法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實用冪級數(shù)：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|