證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(a?

2

2x1+1

)?(a?

2

2x2+1

)-------------（2分）
=

2

2x2+1

?

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，-----------------（4分）
∵指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1?2x2＜0，---------------------（6分）
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．----------（10分）