歷史上有許多人,他們?cè)谥饕獜氖碌墓ぷ鞣矫鏇](méi)有取得什么成果,而在平常茶余飯后的閑暇時(shí)間里卻取得了了不起的成就.費(fèi)馬就是一個(gè)典型.在今天,人們提到皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601～1665）,主要不是因?yàn)樗且粋€(gè)政治家或法官,而是因?yàn)樗且粋€(gè)出色的業(yè)余數(shù)學(xué)家.費(fèi)馬在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都進(jìn)行過(guò)研究并小有建樹(shù),但真正令他名滿天下的是被后人稱之為“費(fèi)馬大定理”的猜想.
費(fèi)馬大定理的表述很簡(jiǎn)單：對(duì)于正整數(shù),不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同次冪的和.換句話說(shuō)就是,方程Xn＋Yn＝Zn,當(dāng)n＞2時(shí),不存在正整數(shù)解.在一本書(shū)的頁(yè)邊,費(fèi)馬寫到：我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分優(yōu)美的證明,這里空白太小,寫不下.
從此包括大數(shù)學(xué)家歐拉、柯西在內(nèi)的無(wú)數(shù)智者都曾為此殫精竭智,雖然每次都能向前邁進(jìn)一小步,但都未能最終證明費(fèi)馬大定理.300多年來(lái),很多人聲稱找到了解決這個(gè)難題的辦法,然而每一次均為人所推翻.從費(fèi)馬大定理本身來(lái)說(shuō),證明不證明它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展沒(méi)有多大意義.但一方面,這是對(duì)智慧的挑戰(zhàn)；另一方面,數(shù)學(xué)家們從證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程中得到了許多意外的收獲,一些新的數(shù)學(xué)分支和方法正是在對(duì)它的研究中產(chǎn)生的.因而,費(fèi)馬大定理的證明一直受到人們
的關(guān)注.
關(guān)于費(fèi)馬大定理也有不少小插曲,德國(guó)人保羅·沃爾夫斯凱爾為費(fèi)馬大定理設(shè)立專項(xiàng)基金即是其中之一.按照人們的一般說(shuō)法,沃爾夫斯凱爾因?yàn)槭俣噲D結(jié)束自己的生命.在他認(rèn)為一切就緒,準(zhǔn)備于某日午夜準(zhǔn)時(shí)開(kāi)槍自盡前的一段時(shí)間里,發(fā)現(xiàn)了一篇關(guān)于費(fèi)馬大定理的論文.碰巧的是,沃爾夫斯凱爾本人是一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者,不知不覺(jué)中竟沉湎于論文中,結(jié)果錯(cuò)過(guò)了原定的自殺時(shí)間.之后,沃爾夫斯凱爾放棄了自殺的念頭,并在死前留下遺囑,把一大筆財(cái)富作為獎(jiǎng)給第一個(gè)證明費(fèi)馬大定理的人,有效期到2007年.
美國(guó)普林斯頓大學(xué)教授安德魯·懷爾斯經(jīng)過(guò)7年的潛心研究,于1993年公布了他對(duì)費(fèi)馬大定理的證明.他的證明在1995年得到確認(rèn)并最終獲得了沃爾夫斯凱爾留下的獎(jiǎng)金.
懷爾斯的證明長(zhǎng)達(dá)一百多頁(yè),其中涉及許多最新的數(shù)學(xué)知識(shí),目前在世界范圍內(nèi)能看懂的人也屈指可數(shù).因此出現(xiàn)了這樣的爭(zhēng)議：有人認(rèn)為這不可能是當(dāng)年費(fèi)馬所想到的證明,應(yīng)該還有種比這簡(jiǎn)單的證明未被發(fā)現(xiàn)；但也有許多人傾向于認(rèn)為當(dāng)年的費(fèi)馬其實(shí)毫無(wú)發(fā)現(xiàn),或者只是想到了一個(gè)錯(cuò)誤的方法.
1637年,費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí),曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和,或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和,或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和,這是不可能的.關(guān)于此,我確信已發(fā)現(xiàn) 一種美妙的證法 ,可惜這里空白的地方太小,寫不下.”畢竟費(fèi)馬沒(méi)有寫下證明,而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多,由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣.數(shù)學(xué)家們的有關(guān)工作豐富了數(shù)論的內(nèi)容,推動(dòng)了數(shù)論的發(fā)展.
對(duì)得多不同的 n,費(fèi)馬定理早被證明了.但數(shù)學(xué)家對(duì)一般情況在首二百年內(nèi)仍一籌莫展.
1908年,德國(guó)佛爾夫斯克宣布以10萬(wàn)馬克作為獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給在他逝世后一百年內(nèi),第一個(gè)證明該定理的人.
1983年,Gerd Faltings 證明了 Mordell conjecture 從而得出當(dāng) n > 2 時(shí)（n為整數(shù)）,不存在互質(zhì)的 a,b,c 使得 an + bn = cn.
1986年,Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a,b,c 使得an + bn = cn,即費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的,則橢圓曲線
y2 = x(x-an)(x + bn)
會(huì)是谷山志村猜想的一個(gè)反例.Frey 的猜想隨即被 Kenneth Ribet 證實(shí).此猜想顯示了費(fèi)馬大定理與橢圓曲線及 modular forms 的密切關(guān)系.
1995年,懷爾斯和泰勒在一特例范圍內(nèi)證明了谷山志村猜想,Frey 的橢圓曲線剛好在這一特例范圍內(nèi),從而證明了費(fèi)馬大定理.
懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程亦甚具戲劇性.他用了七年時(shí)間,在不為人知的情況下,得出了證明的大部分；然后于1993年6月在一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布了他的證明,并瞬即成為世界頭條.但在審批證明的過(guò)程中,專家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極嚴(yán)重的錯(cuò)誤.懷爾斯和泰勒然后用了近一年時(shí)間嘗試補(bǔ)救,終在1994年9月以一個(gè)之前懷爾斯拋棄過(guò)的方法得到成功.他們的證明刊在1995年的Annals of Mathematics之上.