證法1
作兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ,斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形,使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.
過(guò)點(diǎn)Q作QP‖BC,交AC于點(diǎn)P.
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PQ,垂足為M；再過(guò)點(diǎn)
F作FN⊥PQ,垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一個(gè)矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a²+b²=c²
證法2
作兩個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ,斜邊長(zhǎng)為c.再作一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF,AE為邊長(zhǎng)做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直線上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直線上,
a²+b²=c²
證法3
作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形,把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上,連結(jié)
BF、CD.過(guò)C作CL⊥DE,
交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面積等于,
ΔGAD的面積等于矩形ADLM
的面積的一半,
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證,矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ 即a²+b²=c²