已知a,b,c是一個三角形的三邊,求證a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒負(fù)

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優(yōu)質(zhì)解答

a^4＋b^4＋c^4－2a^2b^2－2b^2c^2－2c^2a^2
＝a^4＋b^4－2a^2b^2－2b^2c^2＋2c^2a^2＋c^4－4c^2a^2
＝(a^4＋b^4－2a^2b^2)＋2c^2(a^2－b^2)＋c^4－4c^2a^2
＝(a^2－b^2)^2＋2c^2(a^2－b^2)＋c^4－4c^2a^2
＝(a^2－b^2＋c^2)^2－4c^2a^2
＝(a^2－b^2＋c^2)^2－(2ca)^2
＝(a^2－b^2＋c^2＋2ca)(a^2－b^2＋c^2－2ca)
＝[(a＋c)^2－b^2][(a－c)^2－b^2]
＝(a＋c＋b)(a＋c－b)(a－c＋b)(a－c－b)
顯然,a＋c＋b＞0,a＋c－b＞0,a－c＋b＞0,a－c－b＜0
故原式的值一定小于0