只要是可以稱為矩陣的數(shù)列都是滿足數(shù)的運算法則的
這里首先要弄清楚什么是矩陣
矩陣就是由方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣.
把用在解線性方程組上既方便,又直觀.例如對于方程組.
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
來說,我們可以構(gòu)成兩個矩陣：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因為這些數(shù)字是有規(guī)則地排列在一起,形狀像矩形,所以數(shù)學(xué)家們稱之為矩陣,通過矩陣的變化,就可以得出方程組的解來.
矩陣這一具體概念是由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出并形成矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論的.
但是追根溯源,矩陣最早出現(xiàn)在我國的＜九章算術(shù)＞中,在＜九章算術(shù)＞方程一章中,就提出了解線性方程各項的系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個長方形的形狀.隨后移動處籌,就可以求出這個方程的解.在歐洲,運用這種方法來解線性方程組,比我國要晚2000多年.
數(shù)學(xué)上,一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成,或更一般的,由某環(huán)中元素組成.
矩陣常見于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計分析,以及組合數(shù)學(xué)等.請參考矩陣?yán)碚?
目錄 [隱藏]
1 歷史
2 定義和相關(guān)符號
2.1 一般環(huán)上構(gòu)作的矩陣
2.2 分塊矩陣
3 特殊矩陣類別
4 矩陣運算
5 線性變換,秩,轉(zhuǎn)置
6 Jacobian 行列式
7 參見
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歷史
矩陣的研究歷史悠久,拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究.
作為解決線性方程的工具,矩陣也有不短的歷史.1693年,微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論(theory of determinants).1750年,加布里爾·克拉默其后又定下了克拉默法則.1800年代,高斯和威廉·若爾當(dāng)建立了高斯—若爾當(dāng)消去法.
1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞.研究過矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有凱萊、威廉·盧云·哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮·諾伊曼.
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定義和相關(guān)符號
以下是一個 4 × 3 矩陣：
某矩陣 A 的第 i 行第 j 列,或 i,j位,通常記為 A[i,j] 或 Ai,j.在上述例子中 A[2,3]=7.
在C語言中,亦以 A[i][j] 表達.(值得注意的是,與一般矩陣的算法不同,在C中,"行"和"列"都是從0開始算起的)
此外 A = (aij),意為 A[i,j] = aij 對于所有 i 及 j,常見于數(shù)學(xué)著作中.
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一般環(huán)上構(gòu)作的矩陣
給出一環(huán) R,M(m,n,R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩陣的集合.若 m=n,則通常記以 M(n,R).這些矩陣可加可乘 (請看下面),故 M(n,R) 本身是一個環(huán),而此環(huán)與左 R 模 Rn 的自同態(tài)環(huán)同構(gòu).
若 R 可置換,則 M(n,R) 為一帶單位元的 R-代數(shù).其上可以萊布尼茨公式定義 行列式：一個矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式在 R 內(nèi)可逆.
在維基百科內(nèi),除特別指出,一個矩陣多是實數(shù)矩陣或虛數(shù)矩陣.
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分塊矩陣
分塊矩陣 是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”.舉例,以下的矩陣
可分割成 4 個 2×2 的矩陣
.
此法可用于簡化運算,簡化數(shù)學(xué)證明,以及一些電腦應(yīng)用如VLSI芯片設(shè)計等.
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特殊矩陣類別
對稱矩陣是相對其主對角線（由左上至右下）對稱,即是 ai,j=aj,i.
埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復(fù)共軛方式對稱,即是 ai,j=a*j,i.
特普利茨矩陣在任意對角線上所有元素相對,是 ai,j=ai+1,j+1.
隨機矩陣所有列都是概率向量,用于馬爾可夫鏈.
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矩陣運算
給出 m×n 矩陣 A 和 B,可定義它們的和 A + B 為一 m×n 矩陣,等 i,j 項為 (A + B)[i,j] = A[i,j] + B[i,j].舉例：
另類加法可見于矩陣加法.
若給出一矩陣 A 及一數(shù)字 c,可定義標(biāo)量積 cA,其中 (cA)[i,j] = cA[i,j].例如
這兩種運算令 M(m,n,R) 成為一實數(shù)線性空間,維數(shù)是mn.
若一矩陣的列數(shù)與另一矩陣的行數(shù)相等,則可定義這兩個矩陣的乘積.如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣,它們是乘積 AB 是一個 m×p 矩陣,其中
(AB)[i,j] = A[i,1] * B[1,j] + A[i,2] * B[2,j] + ...+ A[i,n] * B[n,j] 對所有 i 及 j.
例如
此乘法有如下性質(zhì)：
(AB)C = A(BC) 對所有 k×m 矩陣 A,m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C ("結(jié)合律").
(A + B)C = AC + BC 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C ("分配律").
C(A + B) = CA + CB 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C ("分配律").
要注意的是：可置換性不一定成立,即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA.
對其他特殊乘法,見矩陣乘法.
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線性變換,秩,轉(zhuǎn)置
矩陣是線性變換的便利表達法,皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連系：
以 Rn 表示 n×1 矩陣（即長度為n的矢量）.對每個線性變換 f :Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩陣 A 使得 f(x) = Ax 對所有 x ∈ Rn.這矩陣 A "代表了" 線性變換 f.今另有 k×m 矩陣 B 代表線性變換 g :Rm -> Rk,則矩陣積 BA 代表了線性變換 g o f.
矩陣 A 代表的線性代數(shù)的映像的維數(shù)稱為 A 的矩陣秩.矩陣秩亦是 A 的行（或列）生成空間的維數(shù).
m×n矩陣 A 的轉(zhuǎn)置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 Atr （亦紀(jì)作 AT 或 tA）,即 Atr[i,j] = A[j,i] 對所有 i and j.若 A 代表某一線性變換則 Atr 表示其對偶算子.轉(zhuǎn)置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr,(AB)tr = BtrAtr.