論哥德巴赫猜想的簡(jiǎn)單證明
沙寅岳
（中國(guó)浙江省寧波市鄞州區(qū)橫溪鎮(zhèn)桃園新村路下9號(hào)105室,郵編：315131）
一、證明方法
設(shè)N為任一大于6的偶數(shù),Gn為不大于N/2的正整數(shù),則有：
N＝(N－Gn)+Gn (1)
如果N－Gn和Gn同時(shí)不能被不大于√N(yùn)的所有質(zhì)數(shù)整除,則N－Gn和Gn同時(shí)為奇質(zhì)數(shù).設(shè)Gp(N)表示N－Gp和Gp同時(shí)為奇質(zhì)數(shù)的奇質(zhì)數(shù)Gp的個(gè)數(shù),那么,只要證明：
當(dāng)N＞M時(shí),有Gp(N)＞1,則哥德巴赫猜想當(dāng)N＞M時(shí)成立.
二、雙數(shù)篩法
設(shè)Gn為1到N/2的自然數(shù),Pi為不大于√N(yùn)的奇質(zhì)數(shù),則Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的總個(gè)數(shù)為N/2.如N－Gn和Gn這兩個(gè)數(shù)中任一個(gè)數(shù)被奇質(zhì)數(shù)Pi整除,則篩去該Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù),由此,被奇質(zhì)數(shù)Pi篩去的Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)不大于INT(N/Pi),則剩下的Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)不小于N/2－INT(N/Pi),與Gn所對(duì)應(yīng)的自然數(shù)的總個(gè)數(shù)之比為R(Pi)：
R(Pi)≥(N/2－INT(N/Pi))/(N/2)≥(1－2/Pi)×INT((N/2)/Pi)/((N/2)/Pi) (2)
三、估計(jì)公式
由于所有質(zhì)數(shù)都是互質(zhì)的,可應(yīng)用集合論中獨(dú)立事件的交積公式,由公式（2）可得任一偶數(shù)表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和的表法的數(shù)量的估計(jì)公式：
Gp(N)≥(N/4－1)×∏R(Pi)－1≥(N/4－1)×∏(1－2/Pi)×∏(1－2Pi/N)－1 (3)
式中∏R(Pi)表示所有不大于√N(yùn)的奇質(zhì)數(shù)所對(duì)應(yīng)的比值計(jì)算式的連乘.
四、簡(jiǎn)單證明
當(dāng)偶數(shù)N≥10000時(shí),由公式（3）可得：
Gp(N)≥(N/2－2－∑Pi)×(1－1/2)×∏(1－2/Pi)－1
≥(N－2×√N(yùn))/8×(1/√N(yùn))－1＝(√N(yùn)－2)/8－1≥11＞1 (4)
公式(4)表明：每一個(gè)大于10000的偶數(shù)表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和至少有11種表法.
經(jīng)驗(yàn)證明：每一個(gè)大于4且不大于10000的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.
最后結(jié)論：每一個(gè)大于4的偶數(shù)都可表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和.
（一九八六年十二月二十四日）
哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.1742年,由德國(guó)中學(xué)教師哥德巴赫在教學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)的.
1742年6月7日哥德巴赫寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,正式提出了以下的猜想：a.任何一個(gè)大于 6的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.b.任何一個(gè)大于9的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和.
這就是哥德巴赫猜想.歐拉在回信中說(shuō),他相信這個(gè)猜想是正確的,但他不能證明.
從此,這道數(shù)學(xué)難題引起了幾乎所有數(shù)學(xué)家的注意.哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”.
中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1966年證明：任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和,而后者可表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.”通常這個(gè)結(jié)果表示為 1+2.這是目前這個(gè)問(wèn)題的最佳結(jié)果.
要想看懂陳景潤(rùn)的嚴(yán)格證明,恐怕多數(shù)沒(méi)有數(shù)論基礎(chǔ)的朋友根本做不到.
給一個(gè)最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)述：
1941年,P．庫(kù)恩(Kuhn)提出了加權(quán)篩法,這種方法可以加強(qiáng)其他篩法的效果．當(dāng)今有關(guān)篩法的許多重要結(jié)果都與這一思想有關(guān)．
陳景潤(rùn)對(duì)孔恩的“加權(quán)篩法”作了轉(zhuǎn)換原理的改進(jìn),對(duì)下界估計(jì)推進(jìn)到（1+2）已是極限,到此“‘圓法’與‘篩法’均已山窮水盡,用它們幾乎不可能證明猜想（1+1)的.