首先,正弦交流電的有效值是指與它做功能力等效的直流電的數(shù)值.即在相同時間內(nèi),一個直流電壓和電流和一個交流電壓和電流在同一電阻上產(chǎn)生的熱量相等時,我們就把這個直流電壓和電流稱為對應(yīng)的交流電壓和電流的有效值.所以,此問題應(yīng)從做功角度去推導(dǎo).
設(shè)有一個純電阻電路,電阻為R,正弦交流電的電壓瞬時值為u=Um*sinωt,電流瞬時值為i=Im*sinωt.
1、求瞬時功率,
功率p=u*u/R=Um*Um*sinωt*sinωt/R=1/2*Um*Um*（1-cos2ωt)/R.
2、計算此式在一個周期T的時間內(nèi)所做的功：
假如時間變化一個無限小增量dt,我們得到在dt時間內(nèi)交流電所做的功為:
dw=p*dt=Um*Um*sinωt*sinωt*dt/R
=1/2*Um*Um/R*（1-cos2ωt)*dt;
再求交流電在一個周期T內(nèi)所做的功:
dw對時間積分,下限是0,上限是T得:
功W=int(0-T)p*dt=int(0-T)(1/2*Um*Um*（1-cos2ωt)*dt)/R=1/2R*Um*Um*int(0-T)dt+1/2R*Um*Um*int(0-T)cos2ωt*dt;
其中,int表示積分,（0-T）為積分限.
此式右邊積分為零,我們得到：
W=1/2R * Um*Um*T.
此式的物理意義是：1/2*Um*Um是一個常數(shù),在電學(xué)上就是一個直流分量,而交流分量在一個周期內(nèi)的積分是零,是因為波形上下對稱.
3、求平均功率,就得到與它等效的直流電,即電壓有效值和電流有效值了：
P=W/T=1/2R * Um*Um.
令：U為對應(yīng)的等效直流電壓,即U*U/R=1/2*Um*Um/R.所以我們得到:U=√2/2 * Um；
同理,P=i*i*R=Im*Im*R*sinωt*sinωt=1/2*Im*Im*R*(1-cos2ωt);
W=int(0-t)P*dt=1/2*Im*Im*R*T
平均功率P=W/T=1/2*Im*Im*R.令：I*I*R=1/2 * Im*Im*R,我們得到：
I=√2/2 * Im.
為什么可以只取一個周期來求呢?因為交流電的每個周期都是完全一樣的,我們求出其中一個周期的平均值,就等于求出了所有時間的平均值了.
夠詳細(xì)了吧?再不明白我也沒招了哈.