一.判斷與命題
1.判斷的意義和結(jié)構(gòu)
判斷是對(duì)思維對(duì)象有所斷定的思維形式.“斷定”就是肯定或否定,不模棱兩可.例如,“是無(wú)理數(shù)”,“△ABC不是直角三角形”,這種判斷是判斷某一屬性是否屬于這個(gè)或那個(gè)事物；又如,“三角形三內(nèi)角之和等于180°”,這種判斷是判斷各個(gè)思維對(duì)象間的關(guān)系；再如,“直線c經(jīng)過(guò)直線a與b的交點(diǎn)p”,這種判斷是判斷各思維對(duì)象間的制約關(guān)系.
任何判斷都應(yīng)具有兩個(gè)基本特征：一是一定“要有所斷定”.不能作出肯定或否定的思維形式,不能稱其為判斷.例如,“△ABC是直角三角形嗎?”就不是判斷.二是有真假之分.如果一個(gè)判斷符合客觀實(shí)際,它就是真實(shí)的,否則就是虛假的.例如,“三角形三內(nèi)角之和大于180°”就是一個(gè)假判斷.
判斷一般采用“主詞——系詞——賓詞”的結(jié)構(gòu).主詞（S）是思維的對(duì)象,即需要作出判斷的事物或現(xiàn)象,賓詞（P）是用來(lái)表達(dá)對(duì)象具有或不具有某種屬性,系詞是用來(lái)聯(lián)接主詞和賓詞的,通常用“是”或“不是”來(lái)表示肯定或否定.
判斷按其性質(zhì)來(lái)分有肯定判斷和否定判斷,按判斷中的主詞外延是賓詞外延的全部或是部分來(lái)分,有全稱判斷和特稱判斷,如果將兩種分類結(jié)合起來(lái)就可以形成下面四種判斷：
(1)全稱肯定判斷,記作A.其邏輯形式是“所有S都是P”,簡(jiǎn)記為SAP.
(2)全稱否定判斷,記作E.其邏輯形式是“所有S都不是P”,簡(jiǎn)記為SEP.
(3)特稱肯定判斷,記作I.其邏輯形式是“有些S是P”,簡(jiǎn)記為SIP.
(4)特稱否定判斷,記作O.其邏輯形式是“有些S不是P”,簡(jiǎn)記為SOP.
2.命題及其基本運(yùn)算
表示判斷的陳述語(yǔ)句稱為命題,數(shù)學(xué)中表示判斷的陳述語(yǔ)句稱為數(shù)學(xué)命題,也簡(jiǎn)稱為命題.命題中常用的連接詞有“非”、“或”、“且”、“蘊(yùn)含”、“等值”等等.判斷有真假之分,命題也有真假之分,而在結(jié)構(gòu)上可分為簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題兩種類型.數(shù)學(xué)中把真實(shí)性為人們所公認(rèn)而又不加以證明的數(shù)學(xué)命題,稱為公理.在數(shù)學(xué)科學(xué)體系中,一般要求公理具有無(wú)矛盾性、獨(dú)立性和完備性,但在中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系中,考慮到學(xué)生接受能力,往往把一些公理體系之外的真命題也作為公理,即不一定嚴(yán)格要求公理體系的獨(dú)立性.數(shù)學(xué)中,根據(jù)已知概念和已知的命題,遵照邏輯規(guī)律運(yùn)用邏輯推理方法已證明真實(shí)性的命題稱為定理.
命題的運(yùn)算就是通過(guò)命題的符號(hào)化、形式化,由若干個(gè)命題,構(gòu)建新的命題.命題演算的關(guān)鍵是邏輯聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)用.因此,命題運(yùn)算實(shí)際上是命題的邏輯聯(lián)結(jié).命題的基本運(yùn)算有：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?
對(duì)于命題p、q、r,如果p是一個(gè)真命題,則記為p=1；如果q是一個(gè)假命題,則記為q=1.
(1)否定（非“「”）.命題p與聯(lián)表3-1
結(jié)詞“「”構(gòu)成復(fù)合命題“「p”.「pP「p
稱為p的否定式,也稱為負(fù)命題,其10
真值表為表3-1.這里表明,若命題01
p為真,則「p為假；若命題p為假,則「p為真.
（2）合取（與、且“∧”）.兩個(gè)命題p、q用“∧”聯(lián)結(jié)起來(lái),構(gòu)成復(fù)合命題“p∧q”.p∧q稱為p、q的合取式,p、q稱為合取項(xiàng).命題p∧q又稱為聯(lián)言命題,其真值表為表3-2.這里表明,若p、q都真,則p∧q為真；若p、q中至少有一個(gè)為假,則p∧q為假.
表3-2表3-3
pqp∧qpqp∨q
111111
100101
000011
000000
（3）析?。ɑ颉啊拧保?兩個(gè)命題p、q用“∨”聯(lián)結(jié)起來(lái),構(gòu)成復(fù)合命題“p∨q”.p∨q稱為p、q的析取式,p、q稱為析取項(xiàng).命題p∨q又稱為選言命題,其真值表為表3-3.這里表明,若p、q中至少一個(gè)為真,則p∨q為真；只有p、q都假,才有p∨q為假.
（4）蘊(yùn)涵（如果（若）…那么（則）…“→”）.給定兩個(gè)命題p、q用“→”聯(lián)結(jié)起來(lái),構(gòu)成復(fù)合命題“p→q”.p→q稱為p、q的蘊(yùn)涵式,p稱為條件（或前件）,q稱為結(jié)論（或后件）.命題p→q又稱為假言命題,其真值表為表3-4.這里表明,除去p真q假,則p→q為假外,其余情況p→q都真.
表3-4表3-5
pqp→qpqpq
111111
100100
011`010
001001
（5）當(dāng)且僅當(dāng)（“”）.給定兩個(gè)命題p、q用“”聯(lián)結(jié)起來(lái),構(gòu)成復(fù)合命題“pq”.pq稱為p、q的等價(jià)式.命題pq又稱為充要條件假言命題,其真值表為表3-5.這里表明,若p、q同真或同假時(shí),pq為真,其余皆假.
運(yùn)用以上介紹的五種邏輯聯(lián)詞以及否定式、合取式、析取式、蘊(yùn)涵式和等價(jià)式的真值表,還可以進(jìn)行命題的多種復(fù)合運(yùn)算,并確定運(yùn)算結(jié)果所得命題的真值表.在命題的演算過(guò)程中,還要遵循一系列的運(yùn)算律,這些請(qǐng)讀者參閱有關(guān)邏輯學(xué)文獻(xiàn).
二.命題的四種基本形式及其關(guān)系
數(shù)學(xué)命題的四種基本形式如下：
原命題p→q；逆命題q→p；
否命題「p→「q；逆否命題「q→「p.
它們之間的關(guān)系可用圖解表示如下圖：
原命題互逆逆命題
p→qq→p
互互
互為逆否
否否
否命題逆否命題
「p→「q互逆「q→「p
圖3-8
以上四種命題的真假,有一定的邏輯聯(lián)系.互為逆否的兩個(gè)命題是邏輯等價(jià)的,可通過(guò)真值表或命題運(yùn)算律加以驗(yàn)證.例如
表3-6
pqp→q「q「p「q→「p
111001
100100
011011
001111
可見(jiàn),p→q與「q→「p等價(jià),即p→q與「q→「p同真同假.
為了加深對(duì)上面的真值表的理解,我們來(lái)看下面三組例子：
例1.（1）若三角形中有兩邊相等,則其對(duì)角相等.（真）
（2）若三角形中有兩角相等,則其對(duì)邊也相等.（真）
（3）若三角形中有兩邊不等,則其對(duì)角也不相等.（真）
（4）若三角形中有兩角不等,則其對(duì)邊也不相等.（真）
例2.（1）若兩角為對(duì)頂角,則此二角相等.（真）
（2）若兩角相等,則此二角為對(duì)頂角.（假）
（3）若兩角不是對(duì)頂角,則此二角不相等.（假）
（4）若兩角不相等,則此二角不是對(duì)頂角.（真）
例3.（1）若四邊形的四邊相等,則為正方形.（假）
（2）若四邊形為正方形,則四邊相等.（真）
（3）若四邊形四邊不等,則不是正方形.（真）
（4）若四邊形不是正方形,則四邊不等.（假）
從以上三例可以看出：
1.原命題真,它的逆命題和否命題未必真；原命題假,它的逆命題和否命題未必假.因此,一個(gè)定理的逆命題和否命題,必須通過(guò)邏輯證明才能判定其是否成立.若成立,則分別稱為逆定理和否定理.
2.互為逆否的兩個(gè)命題,真則同真,假則同假.由此可以得出,要證明一個(gè)命題為真,如果直接證明有困難或太繁時(shí),可以轉(zhuǎn)而證其逆否命題為真.
三.命題的制作
因?yàn)榛槟娣竦膬蓚€(gè)命題邏輯等價(jià),所以實(shí)質(zhì)不同的命題,只有原命題與逆命題兩種.一個(gè)真命題的逆命題,只有經(jīng)過(guò)論證后才知其真假.如果一個(gè)定理的逆命題為真,就得到原定理的逆定理.為了研究一個(gè)定理的逆定理,就要研究逆命題的制作方法.
1.當(dāng)命題的條件和結(jié)論都是一個(gè)簡(jiǎn)單命題時(shí),只要將它們互換位置就可以得到原命題唯一的一個(gè)逆命題.例如,命題“對(duì)頂角相等”,它的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”,這個(gè)逆命題顯然是不正確的.
2.當(dāng)命題的條件和結(jié)論不只是一個(gè)簡(jiǎn)單命題時(shí),將命題條件和結(jié)論中的簡(jiǎn)單命題任意進(jìn)行交換位置,就可以得到多個(gè)逆命題.例如,原定理“圓內(nèi)垂直平分弦的直線必過(guò)圓心且平分該弦所對(duì)的弧”,不難得到它的五個(gè)逆定理：
圓內(nèi)過(guò)圓心且平分弦的直線必垂直該弦且平分該弦所對(duì)的??；
圓內(nèi)平分弦和這弦所對(duì)弧的直線必過(guò)圓心且垂直該弦；
圓內(nèi)過(guò)圓心且垂直弦的直線必平分該弦和該弦所對(duì)的??；
圓內(nèi)垂直弦且平分該弦所對(duì)弧的直線必過(guò)圓心且平分該弦；
圓內(nèi)過(guò)圓心且平分弦所對(duì)弧的直線必垂直平分該弦.
四.命題的同一原理
互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的,互逆或互否的兩個(gè)命題未必等價(jià).但是,當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論都唯一存在,它們所指的概念的外延完全相同,是同一概念時(shí),這個(gè)命題和它的逆命題等價(jià),這叫做同一原理.例如,“等腰三角形頂角的平分線是底邊上的中線”是真命題,它的條件和結(jié)論都是唯一的,條件和結(jié)論所指的概念的外延完全相同,是同一條線段,它的逆命題“等腰三角形底邊上的中線是頂角的平分線”也必定為真命題.
同一原理是同一法論證的邏輯根據(jù).對(duì)于符合同一原理的兩個(gè)互逆命題,在判斷它們真假時(shí),只要判定其中的一個(gè)即可.在制作逆命題時(shí),如果原定理的條件和結(jié)論都唯一存在,就可直接寫出它的逆命題而斷言其成立.例如,對(duì)于上面的例子,由同一原理,便可直接得到它的五個(gè)逆定理.
五.命題的條件
為了簡(jiǎn)明地表達(dá)命題中條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)命題的條件分為以下幾種：
若命題p→q真,則稱p是q成立的充分條件；
若命題q→p真,則稱p是q成立的必要條件；
若命題p→q與q→p同真,則稱p是q成立的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件；
若命題p→q與q→p同假,則稱p是q成立的既不充分也非必要條件.
在教學(xué)中,還必須區(qū)分以下兩種類型的條件.
若命題p→q真而q→p假,則稱p是q成立的充分而非必要條件,
若命題p→q假而q→p真,則稱p是q成立的必要而非充分條件.
以上所揭示的命題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,可以用來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)證明.要證明一個(gè)命題成立,只要證明能使這個(gè)命題成立的一個(gè)充分條件成立就足夠了；要證明一個(gè)命題不成立,是要指出的這個(gè)命題成立的一個(gè)必要條件不具備就可以了.
六.分?jǐn)嗍矫}
數(shù)學(xué)上,對(duì)于由n個(gè)命題pⅰ→qⅰ（i=1,2,…,n）聯(lián)合起來(lái)敘述而成的一個(gè)命題K,而這n個(gè)命題的條件pⅰ和結(jié)論q?。╥=1,2,…,n）所含事項(xiàng),雙方都面面俱到（各種可能情況全都說(shuō)到,沒(méi)有遺漏）且互不相容（彼此之間互相排斥,沒(méi)有重復(fù)）時(shí),則稱命題K為分?jǐn)嗍矫}.
例如,“在△ABC中,若AB＜AC,則∠C＜∠B；若AB＝AC,則∠C＝∠B；若AB＞AC,則∠C＞∠B.”就是一個(gè)分?jǐn)嗍矫}.
分?jǐn)嗍矫}與它的逆命題等價(jià).設(shè)原命題pi→qi（i=1,2,…,n）為真,從中取出n–1個(gè),比如pi→qi（i=2,…,n）.則由分?jǐn)嗍矫}的定義,這n–1個(gè)命題聯(lián)立起來(lái),實(shí)質(zhì)上就是「p1→「q1為真.因?yàn)榛槟娣竦拿}等價(jià),所以q1→p1為真.同理有qK→pk為真.所以,逆命題qi→pi（i=1,2,…,n）為真.
由此可知,一個(gè)分?jǐn)嗍矫}如果是正確的,它的逆命題（也是分?jǐn)嗍矫}）也一定正確,而且可以直接當(dāng)逆定理來(lái)用.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,還有不少分?jǐn)嗍矫}.例如,一元二次方程根的判別定理,直線的垂線與斜線的定理,點(diǎn)（或直線）與圓的位置關(guān)系定理,兩圓的位置關(guān)系的定理等等.