大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系.常用于大地問題的細(xì)算,研究地球形狀和大小,編制地圖,火箭和衛(wèi)星發(fā)射及軍事方面的定位及運(yùn)算,若將其直接用于工程建設(shè)規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工等很不方便.所以要將球面上的大地坐標(biāo)按一定數(shù)學(xué)法則歸算到平面上,即采用地圖投影的理論繪制地形圖,才能用于規(guī)劃建設(shè).
橢球體面是一個(gè)不可直接展開的曲面,故將橢球體面上的元素按一定條件投影到平面上,總會(huì)產(chǎn)生變形.測(cè)量上常以投影變形不影響工程要求為條件選擇投影方法.地圖投影有等角投影、等面積投影和任意投影三種.
其中等角投影又稱為正形投影,它保證在橢球體面上的微分圖形投影到平面后將保持相似.這是地形圖的基本要求.正形投影有兩個(gè)基本條件：
①保角條件,即投影后角度大小不變.
②長(zhǎng)度變形固定性,即長(zhǎng)度投影后會(huì)變形,但是在一點(diǎn)上各個(gè)方向的微分線段變形比m是個(gè)常數(shù)k：
式中：ds—投影后的長(zhǎng)度,dS—球面上的長(zhǎng)度.
1.高斯投影的概念
高斯是德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家、測(cè)量學(xué)家.他提出的橫橢圓柱投影是一種正形投影.它是將一個(gè)橫橢圓柱套在地球橢球體上,如下圖所示：
橢球體中心O在橢圓柱中心軸上,橢球體南北極與橢圓柱相切,并使某一子午線與橢圓柱相切.此子午線稱中央子午線.然后將橢球體面上的點(diǎn)、線按正形投影條件投影到橢圓柱上,再沿橢圓柱N、S點(diǎn)母線割開,并展成平面,即成為高斯投影平面.在此平面上：
①中央子午線是直線,其長(zhǎng)度不變形,離開中央子午線的其他子午線是弧形,凹向中央子午線.離開中央子午線越遠(yuǎn),變形越大.
②投影后赤道是一條直線,赤道與中央子午線保持正交.
③離開赤道的緯線是弧線,凸向赤道.
高斯投影可以將橢球面變成平面,但是離開中央子午線越遠(yuǎn)變形越大,這種變形將會(huì)影響測(cè)圖和施工精度.為了對(duì)長(zhǎng)度變形加以控制,測(cè)量中采用了限制投影寬度的方法,即將投影區(qū)域限制在靠近中央子午線的兩側(cè)狹長(zhǎng)地帶.這種方法稱為分帶投影.投影帶寬度是以相鄰兩個(gè)子午線的經(jīng)差來劃分.有6°帶、3°帶等不同投影方法.
6°帶投影是從英國(guó)格林尼治子午線開始,自西向東,每隔6°投影一次.這樣將橢球分成60個(gè)帶,編號(hào)為1～60帶,如下圖所示：
各帶中央子午線經(jīng)度(L)可用下式計(jì)算：
式中n為6°帶的帶號(hào).
已知某點(diǎn)大地經(jīng)度L,可按下式計(jì)算該點(diǎn)所屬的帶號(hào)：
有余數(shù)時(shí),為n的整數(shù)商+1.
3°帶是在6°帶基礎(chǔ)上劃分的,其中央子午線在奇數(shù)帶時(shí)與6°帶中央子午線重合,每隔3°為一帶,共120帶,各帶中央子午線經(jīng)度(L)為：
式中n′為3°帶的帶號(hào).
我國(guó)幅員遼闊,含有11個(gè)6°帶,即從13～23帶(中央子午線從75°～135°),21個(gè)3°帶,從25～45帶.北京位于6°帶的第20帶,中央子午線經(jīng)度為117°.
2.高斯平面直角坐標(biāo)系
根據(jù)高斯投影的特點(diǎn),以赤道和中央子午線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).,中央子午線方向?yàn)閤軸,北方向?yàn)檎?赤道投影線為y軸,東方向?yàn)檎?象限按順時(shí)針Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列,如下圖所示：
在同一投影帶內(nèi)y值有正有負(fù).這對(duì)計(jì)算和使用很不方便.為了使y值都為正,將縱坐標(biāo)軸西移500km,并在y坐標(biāo)前面冠以帶號(hào),如在第20帶,中央子午線以西P點(diǎn)：
在20帶中高斯直角坐標(biāo)為：
高斯直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)中的笛卡爾坐標(biāo)系不同,如下圖所示：
高斯直角坐標(biāo)系縱坐標(biāo)為x軸,橫坐標(biāo)為y軸.坐標(biāo)象限為順時(shí)針劃分四個(gè)象限.角度起算是從x軸的北方向開始,順時(shí)針計(jì)算.這些定義都與數(shù)學(xué)中的定義不同.這樣的做法是為了將數(shù)學(xué)上的三角和解析幾何公式直接用到測(cè)量的計(jì)算上.